A?lgebra De Boole II
CAPITULO 2. 2. ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS. Es un tipo de álgebra que tiene sus fundamentos en la Teoría de Conjuntos, sus variables solamente pueden tomar dos valores: cero «0» ó uno «1». En el álgebra de Boole se define un conjunto B = {0,1} donde cualquier variable x E g puede valer ó x=l. En la teoría de conjuntos, los valores de las variables también adquieren valores de pertenencia binaria (pertenece, o no pertenece); y sus postulados, al igual que cualquier estructura aceptadas como verdaderas y sus res de su sistema axiomático.
Los post sustituyendo las OF12 p tesis de partida, mostrables a partir eden comprobarse variables por los dos elementos del conjunto B. Los postulados, también llamados axiomas, son relativos tanto al conjunto de elementos como a los operadores que se hayan definido en el sistema. Para el caso concreto del álgebra de Boole se pueden utilizar diferentes conjuntos de postulados. No obstante, el más utilizado es el propuesto por Huntington en 1904 que se detalla a continuación. 2. 1 Teoremas y leyes del álgebra de Boole.
Primero se establece la relación de igualdad o equivalencia «-» para indicar que (operador «O», «ORA, o suma ógica) y (operador «AND», multiplicación o producto lógico); siendo B cerrado para estas operaciones. , a) x + y EB ELECTRÓNICA DIGITAL COMBINACIONAL; Teoría, Diser,o y Práctica. Autor: Angel Olivier Cap. II (Álgebra de Boole y Compuertas) El punto utilizado como símbolo para denotar el producto, no es indispensable, aunque no aparezca, se sobreentiende. Por lo tanto, la operación x•yEB; se puede escribir de la forma: x y e B II.
Elementos neutros. Existen elementos neutros para ambas leyes de composición interna; las cuales son: a) Elemento neutro para la suma, B/ V x e g , x + 0 x = ) Elemento neutro para la multiplicación, BIE B/ Vx E B , x • 1 = 1 III. Conmutatividad de las leyes de composición interna. La suma y la multiplicación lógica son conmutativa; x, y B IV. Distributividad de las leyes de composición interna. En el álgebra de Boole la suma y la multiplicación son distributivas recíprocamente. 12 de ellas son: (x , x ).
La suma y el producto de una variable con su complemento da como resultado «1» y «0» respectivamente. VXEB,axE-B/ b) xx=o 56 ELECTRONICA DIGITAL COMBINACIONAL; Teoría, Diseño y Elementos del conjunto Booleano «B». Este postulado es muy obvio, sn embargo, se debe reglamentar; el postulado dice: En B hay al menos dos elementos diferentes. x, y e y . Los dos elementos distintos son «0» y «1» 30F 12 Con estos postulados se p trar las siguientes válido. Teorema de absorción (TI): a)x+xy=x Las dos partes del teorema son demostrables, no obstante, se demostrará la proposición «b».
Ya que incluye la demostración de la parte «a». 57 ELECTRÓNICA DIGITAL COMBINACIONAL; Teoría, Diseño y Para demostrar (P . d): x(x + Y) = x+x y Propiedad distributiva Identidad de la multiplica ción entidad y propiedad distributiva (factor común) Identidad de la suma dentidad de la multiplica ción Lo que se quería demostrar (L. q. d) PAGF40F 12 Teorema (T2): a que la única forma de cumplir la proposición es cuando las dos variables son complementarias recíprocamente.
Identidad Identidad de suma 58 = Y+KY Por hipótesis por hipótesis 2 Propieda Boole y Compuertas) Teorema (T6): Teorema de DeMorgan. x, y EB, El teorema de la unicidad del complemento (T3) indica que se debe demostrar que los dos miembros de las igualdades (a) y (b) son complementarios. Por ejemplo, basta omprobar en (a) que x y es el complemento de x + y . Por lo tanto, el producto de estos dos valores debe dar «0» y su suma debe dar «1». La aplicación de este teorema es muy importante en los circuitos de compuertas digitales. ll P. d: caso al x} • {(X+Y)+Y} Propiedad conmutativa y asociativa Propiedad asociativa e Identidad suma 6 2 dentidad de la suma compuertas básicas fueron nombradas en los postulados del álgebra de Boole; la ley de composición interna suma y multiplicación lógica (ORY ANO), y el postulado V del elemento opuesto, que trata de la compuerta inversora NOT. Estas compuertas se denominan básicas porque, a través de ellas, se pueden desarrollar todos los circuitos digitales de lógica binaria.
No obstante, la dificultad que se puede presentar está en los diseños de circuitos digitales grandes que necesitan combinaciones de compuertas básicas para efectuar una función lógica particular. Esta necesidad trajo como consecuencia la creación de otros tipos, llamadas compuertas universales que son el resultado de combinaciones de las tres compuertas básicas OR, AND y NOT. Por otra parte, mediante la conexión de compuertas universales, es osible lograr arreglos que funcionen igual a las compuertas básicas. A continuación, la tabla 2. y 2. 2, presentan los tipos de compuertas con su respectiva función lógica, símbolo, tabla de la verdad y circuito eléctrico equivalente. Circuito eléctrico Función lógica Símbolo Tabla de la verdad equivalente 7 2 Apagado = O Encendido = 1 Tabla 2. 1 . Compuertas básicas y sus circuitos eléctrico y electrónico equivalentes. 61 Tabla de la verdad NOR 80F 12 una función lógica pueden ser sustituidas por una sola variable equivalente (principio de sustitución), también puede generalizase ara n variables. 62 Ec. 2. 1 Las tablas 2. 3 y 2. presentan los circuitos equivalentes de realizados con NOR y NAND respectivamente. Circuito eléctrico equivalente OR a+b de la suma Función OR (realización con compuertas NOR); Función original Función equivalent e con la doble negación (dos NOR) Función AND (realización con compuertas NOR); Función equivalent e con la doble negación Teorema de DeMorgan Las demostraciones de estas equivalencias se realizan a continuación: Función NOT (realización con compuertas NAND); Unión de las dos entradas de la NAND y conectadas en ‘ 0 DF 12
