ApuntesCI3101_v1_b
C13101: Mec’ anica de Fluidos 3. 3 ESt’ atica de fluidos Fuerzas de presi » on sobre superficies Como ya discutimos en esta secci ‘ on, la presi ‘ on de un fluido es un escalar y la superficie sobre la cual ella act ua es la que, en definitiva determina la caracter’ Istica vectorial de la fuerza de OF37 presi ‘ on. Considere next pas superficie, el que qu vectorialmente en fu ds = dsx + dsy + (3. 6) donde dSx = dS (A n • dSy = dS (A Por definici ‘ on, la fuerza de presi’ on act un elemento de tes de su normal: ua perpendicular a la superficie (o bien paralela a su vector normal) y adem as es una fuerza de compresi on; por o tanto, un elemento de fuerza de presi ‘ on queda definido como: dF = -p ds a continuaci ‘ on un elemento de superficie dS La fuerza de presi’ on dF que act’ ua sobre dicho elemento es: dF–p dS-O*l+O — p dSz k» (3. 9) dSz Si adem ‘ as consideramos presiones relativas (es decir, que trabajamos con presiones relativas a la atmosf’ erica, tal que p = O en la superficie libre) y que la presi on sobre el elemento dS est’ a dada por la ley hidrost ‘ atica de presiones, entonces se tiene: P ¯ pgh = c Departamento de Ingenier» la Civil, Universidad de Chile (3. 50) 52 Q3101: Mee anjca de Fluidos s = dSz k» s Figura 3. 7: Esquema para s sobre superficies planas obtiene de calcular el torque, T , que ejerce esta fuerza de presi ‘ on respecto del origen del sistema de coordenadas.
Es necesario considerar que el torque ejercido por la resultante de la fuerza, actuando en su punto de aplicaci ‘ on, es igual a la suma de los elementos de torque que ejercen los elementos de fuerza de presi’ on distribuidos sobre el area. Para esto necesitamos evaluar: T = xr x F — x x pdS (3. 52) x dsz (3. 53) de donde obtenemos: TY = -xr Fz = Sz de donde se deduce que x dSz (3. 54) c Departamento de Ingeni versidad de Chile hidrost • atica como: p=yh (3. 56) donde h es la profundidad local de la columna de agua. or lo tanto, la fuerza que act sobre el elemento de superficie es: dFx’ dFy’ -O, dFz’ — —p dSz’ —y h dSz ‘ (3. 57) ds = dS? h(x’ ) dS Figura 3. 8: Esquema para analizar fuerzas sobre superficies planas inclinadas. dado que h = x’ sin B (3. 58) entonces, la fuerza neta que act• ua en la direcci ‘onz es: x’ dSz presi on en su centro de gravedad. Para determinar el punto de aplicaci ‘ on de esta fuerza o baricentro, xr , se calcula el torque de la fuerza de presi on como: ‘rxF= = -yr’ pg Sz + x’r pg Sz ‘ [i] ‘ (3. 65) Usando (3. 3) se obtiene la coordenada y del baricentro como: y’ x’ dSz (3. 66) donde S ‘ x’ y’ dSz es el producto de inercia de la superficie Sz respecto de los ejes x’ e y’ (IX’ y’ ). De igual forma se obtiene la coordenada x’ del baricentro, tal que: x’g Sz x’ x’ dSz ‘ – mayor profundidad que el centro de gravedad de la superficie. Esto resulta debido a que la presi’ on aumenta con la profundidad seg• un la ley hidrost » atica. 3. 3. 3 Concepto del prisma de presiones Consideremos un caso simplificado del resultado anterior, el e una superficie vertical rectangular.
Para esta superficie ya encontramos que si la presi ‘ on var ‘ la seg (3. 72) donde (H — z) es la profundidad local de la columna de agua con H la altura de la columna de agua respecto del origen del sistema de coordenadas, entonces la fuerza resultante es: Fx-y (H — z)B dz (3. 73) donde B es el ancho del a superficie rectangular, y, por lo tanto, la integral en (3. 73) geom etricamente representa el volumen del denominado prisma de presiones que gr» aficamente se muestra en la Figura 3. 9.
De esta forma, en superficies rectangulares, la resultante de a fuerza de presi’ on pue omo el volumen del prisma de presiones de ba la capa profunda queda determinada a partir del prisma rectangular de base yl hl y alto h2 (prisma (II)), y el prisma triangular de base y2 h2 y alto h2 (p isma (III)). Es f’ acil ver que el punto de aplicaci’ on de la fuerza de presi’ on se encuentra en el centro de gravedad del prisma de presiones, ubicado a 1/3 por sobre la base en el caso de prismas triangulares.
Por u Itimo, vale la pena recordar que el c’ alculo de los momentos de Inercla viene del c’ alculo del torque, el cual puede convenientemente ser descompuesto en vol’ menes. Por ejemplo, veamos el volumen de la Figura 3. 10, el cual descompusimos en 3 vol’ umenes, c Departamento de Ingenier’ la Civil, Universidad de Chile 56 Figura 3. 9: Prisma de presiones para un fluido de densidad homog’ enea. al que el torque asociado plica a una profundidad 2/3 hl , el torque asociado sobre superficies curdas Consideremos el caso m ‘as complejo, en que la superficie sobre la cual se aplica la fuerza de en donde el eje z apunta vertical contrario presi’ on est’a dada por ds = dSx – I dSy C] – dsz k, a la aceleraci on de gravedad. Por lo tanto, un elemento de uerza de presi» on que act ua sobre c Departamento de Ingenier• la Civil, Universidad de Chile 57 este elemento de superficie viene dado por: dF = —p dS = —p dSx – I — p dSy Cl – — p dSz k – (3. 4) Al integrar sobre toda la superficie, la que en el caso m ‘ as general es curva, se obtiene que la fuerza de presi ‘on est’ a dada por: p dSx (3. 75) p dSy (3. 76) analizar cuidadosamente su signo, o bien, los I • Imites de integraci Dado el sistema de coordenadas elegido, las componentes Fxy Fy corresponden a fuerzas horizontales sobre superficies planas verticales y ya sabemos omo calcular su resultante y punto de aplicaci- on.
En efecto, Fx es la fuerza de presi on actuando sobre una superficie plana vertical, correspondiente a la proyecci ‘ on de la superficie sobre el plano y – z (calculada como Fx = pgx Sx , donde pgx es la presi on en el centro de gravedad de la superficie Sx ); mientras que Fy es la fuerza de presi’ on actuando sobre la superficie proyectada sobre el plano x -z (calculada como Fy = pgy Sy , donde pgy es la presi’ on en el centro de gravedad de la superficie La determinaci ‘ on de la componente Fz es menos directa. Dado que la presi’ on sobre la uperficie considerada est’ a dada por: (3. 8) donde h es la profundidad local de cada punto de dicha superficie, entonces: dFz— —y h dSz (3. 79) pero h dSz corresponde al elemento del volumen comprendido entre la superficie libre o is obara de presi on atmosf- erica y el elemento de superficie dS (dV Figura 3. 11), por lo tanto: dFz= -y dV (3. 80) fuerza de presi on es: (3,81) donde V denota el volumen comprendido entre la is ‘ obara de presi on atmosf’ erica y la superficie considerada. Superficie libre h Figura 3. 11: c ‘ alculo de la componente vertical de la fuerza de presi ‘ on.
O sea, la componente vertical corresponde al peso de la columna l» Iquida equivalente comprendida entre la is ‘ obara de presi ‘ on atmosf’ erica y la superficie S. Es importante notar que el volumen equivalente de l’ Iquido V no necesariamente es igual al volumen real de l’ Iquido, como se muestra en la Figura 3. 12. Determinemos ahora el punto de aplicaci ‘ on de la fuerza. Para las componentes horizontales, Fxy Fy , ‘este se calcula de la forma ya vista para el caso de superficies planas. Ello es distinto para el caso de la componente vertical. Calculemos el punto de aplicaci’ on de Fza partir de: Y dV (3. 82) 10
