Bañuelos_Saucedo
Así, un ngeniero puede buscar la combinación de recursos que le produzcan la máxima ganancia, o el mínimo desperdicio; puede buscar la minima Supóngase que una función tiene la siguiente representación gráfica: De la función se tiene la derivada De la condición para la obtención de los puntos críticos Sólo existe una raíz real, por lo que el único punto crítico es Del criterio de la segunda derivada se tiene que: y valuando el punto crítico en la segunda derivada Por lo que en entonces en los puntos se tienen un máximo y un mínimo relativo de siendo los valores máximo y minimo La condición necesaria para que un punto cualquiera, ominio de A. L. B. S. respectivamente. 22 la función es igual a cero vector, es decir: Si entonces . Un máximo relativo (o máximo , si existe una para cualquier punto en la hiperesfera. Los mínimos absolutos y los mínimos relativos se definen de forma similar.
A los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función se les llama extremos. Al igual que para las funciones de una sola variable, antes de obtener los valores extremos se deben encontrar los puntos críticos de la función. Un punto crítico es aquel en el cual la primera derivada es igual a cero, pues esto significa que la endiente de la recta tangente es igual a cero, pero en el caso de funciones de varias variables, se estudiaron dos tipos de derivadas: las derivadas parciales y la derivada direccional. Puesto que las derivadas parciales son un caso particular de la derivada direccional, no debe ser una sorpresa el hecho de que se utilice la derivada direccional. s un vector unitario que i ión en la cual se evalúa la ecuaciones son independientes, por lo que: De la ecuación o bien que , se tienen las raíces y de la ecuación se tiene la raíz Finalmente, los puntos críticos de la función son: para verificar este teorema debe tenerse en cuenta que el radiente de una función proporciona la dirección de máximo crecimiento y su negativo la dirección de máximo decrecimiento, por lo que su existencia (distinta de cero vector) implica una dirección en la cual la función crecerá o disminuirá, lo que contradice la posibilidad de estar en un punto para el cual su entorno se encuentre por debajo de él o por arriba de él, que es la condición para obtener máximos y mínimos relativos. En la práctica la condición en la cual el gradiente no existe, , casi no 4 22 críticos de la función Considerando que , y sustituyendo se tiene: Resolución De la condición para obtener los puntos críticos se tiene que , de donde y por igualdad de vectores se forma el sistema de ecuaciones Y en forma matricial A. L. g. S. CALCULO VECTORIAL Tema I Pág. para relacionar (4) y (5), de (4) y multiplicando por reagrupando y completando cuadrados Que puede escribirse en forma compacta como Donde la matriz s 2 recibe el nombre de matri I determinante segundas derivadas parciales continuas, las parciales mixtas son iguales, se tiene y de (2), puesto que las parciales mixtas son iguales se tiene que mínimo relativo en el punto crítico. información que proporcionan las parciales mixtas áximo relativo en el punto crítico. entonces de (5) puede ser positiva o negativa por lo que se tiene un punto silla. entonces no se tiene información sobre la naturaleza del punto crítico. Lo anterior se resume en el siguiente teorema. 6 22 principal a los valores característicos de es la transpuesta de tiene en la diagonal Los valores característicos de una matriz son las raíces del polinomio Otra forma de analizar la naturaleza de un punto crítico es utilizando los antecedentes del álgebra lineal.
Esta técnica tiene la ventaja de que permitirá la generalización del criterio de la segunda derivada para funciones de variables. Retomando la ecuación (4), y puesto que al analizar un punto critico sustituir en las derivadas, tal que , se debe entonces se puede hacer la asignación Los vectores característico riz simétrica 7 22 correspondientes a valore se premultiplicó y postmultiplicó por la identidad, con lo cual no se altera la ecuación. Además, Pág. 6 Cuando difieren de signo, entonces existen direcciones para las cuales es positivo y direcciones para las cuales es negativo, por lo que lo que lleva a y haciendo , entonces el punto bajo estudio es un punto silla.
