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Ing Yamil Armando Cerquera Rojas yacerque@gmail. com INTEGRACION NUMÉRICA Método se Simpson ng Yamil Armando Cerquera Rojas – yacerque@gmail. om Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva • Huila Objetivos: Generales y Específicos Observaciones Preliminares Calculo de Áreas El método de Simpson Desarrollo del model Ejemplos Programa en diferen La jerarquía de clase OBJETIVOS GEN ERAL OF18 next pas Objetivos: Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor, asumiendo ada sub área como un pequeño arco de parabola. 1.
Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada. 2. Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de Simpson. 3. Comprender la aproximación del error por truncamiento de la integración aproximada utilizando el método de Simpson, frente al valor exacto. interpretación geométrica de la integral definida. 4. Acotar el error cometido en la integración numérica por el método de Simpson. 5. Explicar la obtención de fórmulas más precisas para calcular, numéricamente, integrales definidas. Aplicar el método de Simpson, para calcular numéricamente, aproximaciones de algunas integrales definidas. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila – Colombia 1 de 18 ng Yamil Armando Cerquera Rojas OBSERVACIONES PRELIMINARES Cuando se realiza un experimento, generalmente, se obtiene una tabla de valores que se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas.
En estos casos, la realización de cualquier operación matemática sobre la nube e puntos que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con dificultades considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre estas operaciones se encuentra la integración de funciones. Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de 2 ap 18 integración, frente a la can e de funciones que se ellas.
Entre estos casos singulares se tienen, a manera de ejemplo: 2 J e dx, J dx , JI +x3 dX, J )dX, JI +X4d)Ç… Para aclarar la contradicción antes señalada, se debe recordar la condición necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición se menciona de inmediato, sin demostración: Proposición 1 (Condición necesaria de Integrabilidad). Si una función f es continua en el intervalo [a, b], entonces la función f es integrable en el intervalo [a, b].
No obstante que las condiciones de la proposición 1 son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x) cualquiera necesaria para obtener la integral definida. Estos apuntes pretenden ilustrar al lector de forma detallada y lo mas sencillo osible, una de las técnicas básicas que permiten resolver dicha situación, haciendo uso de los métodos o modelos numéricos, a través de la denominada «INTEGRACIÓN APROXIMA ÉTODO DE SIMPSON». u por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la Fig. 1, reiterando que dicha área esta por debajo de la función f(x) entre los limites ay b: Fig. 1 Partiendo del hecho que la función f (x) y los valores a y b son conocidos. a se considera como el limite inferior y b se considera como limite superlor. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones: Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. g Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo. EL METODO DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal o Rectangular con segmentos o sub áreas cada vez más pequeñas, otra manera de obtener una estimación ún más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos, en el caso particular del método que usa orden 2, es decir de la forma ax2 + bX+C. 18 entre xi y xi + 2 , y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos 3 de 18 (xi, yi), (xi+l, yi+l), y (xi 2, yi 2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es h [yi + 4 yi+l + yi +2 ] , que se demuestra en seguida. DESARROLLO DEL MODELO DE SIMPSON: Para efectos de la demostración del método de Simpson, se sume cada sub área como un pequeño arco de parábola de la forma ax + bx + c con límites así: Limite inferior en -h, limite superior en h, por ende la mitad de la pequeña sub área se encontrará en el Punto 0, tal como se ilustra en Fig. 2. Fig- 2 Se procede a integrar dicho arco de parábola entre los límites descritos se tendrá: ax 3 bx 2 sap 18 (ax + bX+ c)dx = 3+2 + c ndo cada uno de los J (ax + bx + c)dx — —h [2ah 2 + 6c] ECI Fig. Observando la Fig 3, en lo que respecta a las notaciones, se puede decir que Entonces se podría obtener el siguiente sistemas de ecuaciones, evaluando la cuación general de la parábola ax + bx + c en cada uno de los puntos de la pequeña sub área [-h,O-h]: f (—h) ah 2 — bh + c, se puede tomar esta altura como yo f ( xi ) f (0) = c, se toma esta altura como yl = f (xi ) f (h) = ah 2+ bh + c, y esta altura como y 2 = f ( xi+2) De lo anterior se puede d 6 8 sub área mas la función evaluada en el lado derecho de la sub área, todo esto multiplicado por el ancho del sub área y dividido por 3.
La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios o los rectángulos, confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que los procedimientos mencionados. Si ay b se denominan como xOy x2 , y f i ( xi ) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es: D (x —x 1 )(x—x2) DO – XI) n ( x2 —xo )( x2 —XI ) 18 Después de integrar V de r términos, resulta la aproximada en el intervalo [a, b] es: 6 de 18 b J f ( x)dx A +A2+A3 + + An , ahora dejando esta ecuación en términos de la ecuación 5 se tendrá: +4Y1 2) n) + (y 2 * 4y3+Y4)+.
Simplificando h / 3 y sumando los términos se tendrá: J f ( x)dx = 3 (Y 8 los términos de Índice par. Las dos ecuaciones se pudieran representar en términos de sumatorias de la siguiente manera. f ( x)dx = oy0+y2n+4Ey2i- 1+2Ey2iü 7 de 18 8 general: y 2i -1 + (21 – 1)dX/ 2) ó y 2i -1 -fla +(2i- l)h) EclO Analizando ahora los términos pares: y 2 = f ( a + ldx ) , y 4 – 2dx) , y 6 = f (a + 3dx) , por tanto se tendría de manera general: y 2i f (a + idx) ó y 2i f (a + 2ih) Ecli Dejando la ecuación Ec 9 en términos de lo expresado en las ecuaciones Ec 10 y Ec 11 se tendrá en forma definitiva la solución así: 8 de 18 = + (21 – + 0 18
