Integración por sustitución
Integración por sustitución gyjharck 110R5pR 16, 2011 4 pagcs Integración por sustitución. Utilizar el reconocimiento de modelos para encontrar una integral definida. Emplear el cambio de variable para determinar una integral indefinida. Utilizar la regla general de las potencias para la integración con el fin de determinar una integral indefinida. Utilizar un cambio de variable para calcular una integral definida. Calcular una integral definida que incluya una función par o Impar. Reconocimiento de modelos. En esta sección se estudiarán técnicas para integrar funciones ompuestas.
La discusion se divide en dos de modelos y cambi u-sustitución. Con el sustitucion mentalm los pasos de la sustit El papel de la sustitu ora m bio rtes: reconocimiento nicas implican una elos se efectúa la variable se escriben comparable al de la regla de la cadena en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y = u = g(x), la regla de la cadena establece que: ddxFgx=F’gxg’x. De acuerdo con la definiclón de una antiderivada o primitiva, se sigue: Figxgixdx=Fgx+C =FLHC Estos resultados se resumen en el siguiente teorema.
Antiderivación de una función compuesta. Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo l, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de f en entonces: fgxg’xdx=Fgx+C. dx y fudu-Fu+C. Cambio de variables. Con un cambio de variables formal se puede reescriblr por completo la integración en términos de u y du (o cualquier otra variable conveniente). Aunque este procedimiento puede implicar más pasos escritos que el reconocimiento de patrones, resulta útil para integrandos complicados.
La técnica del cambio de variable utiliza la notación de Leibniz para la diferencial. Esto es, si u — g(x), entonces du — g'(x)dx, y la integral en el teorema 4. 12 toma la forma. fgxg’xdx= fudu=Fu+C. Ejemplo: Encontrar: 2x-1 dx Solución: 2x-1 udu2 2x-1dx- 12 ul/2du 2x-1dx= 12 u3232+C 2x-1dx- 13 u3,’2+c ntegrar en términos de u. Regla del múltiplo constante. Antiderivada en términos de u. Simplificar. 2x-ldx= 13(2x-1)3/2+C Antiderivada en términos de x. Determinar sen23xcos3x dx. Solución: Debido a que sen23x=(sen 3x)2, podemos tomar u=sen 3x, Entonces: du=(cos3x)3dx.
Luego debido a que cos 3x dx es parte de la integral original, puede escribirse: du3=cos3x dx. Sustituyendo uy dW3 en la integral original, se obtiene: sen23xcos3x u2du3 = 13U2du =13U33+C =19sen33x+C. Los pasos que se utilizan para la integración por sustitución se resume en lo siguiente: Estrategia para realizar un riable. cantidad elevada a una potencia. 2. Calcular du=g’xdx. 3. Reescribir la integral en términos de la variable u. 4. Encontrar la integral resultante en términos de u. 5. Reemplazar u por g(x) para obtener una antiderivada o primitiva en terminas de x. 6.
Verificar la respuesta por derivación. La regla general de las potencias para integrales. Una de las sustituciones de u más comunes incluye cantidades en el integrando que se elevan a una potencia. Debido a la importancia de ese tipo de sustitución, se le da un nombre especial: la regla de las potencias para integrales. Una prueba de esta regla sgue directamente de la regla (simple) de las potencias para la integración. Si g es una función derivable de x, entonces: gxngxdx- gxn+1n+1+C, n* -1. De manera equivalente, si u = g(x), entonces undu= un+1n+1+C, -1 33x-14 3x-143dx= 3x-155+C
Algunas integrales cuyos integrandos incluyen cantidades elevadas a potencias no pueden determinarse mediante la regla general de las potencias. Considerar las dos integrales. y (X2+l)2 dx. La sustitución u-x2+1 funciona en la primera integral pero no en la segunda. En la segunda, la sustitución falla porque al integrando le falta el factor x necesario para formar du. Por fortuna, esta integral particular puede hacerse desarrollando el integrando como y utilizando la regla (simple) de las potencias para integrar cada término. Cambio de variable para integrales definida Lvf4 potencias para integrar cada término.
Cambio de variable para integrales definidas. Cuando se usa la sustituclón de du en una integral definida, muchas veces es conveniente determinar los límites de una integración para la variable u en vez de convertir la antiderivada o primitiva de nuevo a la variable x y calcularla en los límites originales. Este cambio de variable se establece explícitamente en el siguiente teorema: Si la función u = g(x) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [a,b] y f es continua en le recorrido o rango de g, ntonces: abfgxg’xdx- g(a)g(b)fudu. alcular 01 Solución: Para calcular esta integral, sea u—x2+1. Después, u=x2+ 1 =>du=2x dx Antes de sustituir, determinar los nuevos límites superior e inferior de integración. Límite inferior: Cuando x 0, u 02 + 1 — Limite supenor: Cuando x = 1, u- 12+1 = 2. Ahora es posible sustituir para obtener: 01x(x2+1 12 01×2+132xdx =1212L13du = 1211144]12 -124-14 = 158. Calcular Az 15x2x-1 dx. Soluclón: para calcular esta integral, considerar que u= 2x-1 . Después, obtener: 112=2x-1 112+1=2x u2+12-x udu=dx.
