La demostración en matematicas

La demostración en matematicas gy PEDRO]OSEMENDEZ 02, 2010 11 pagcs LA DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS ¿NECESARIA O INNECESARIA? Pedro José Méndez Andrades* Introducción En su libro: Los genios no nacen… iSE HACEN! , el Dr. Camilo Cruz (2005) establece: » SI crees que eres un idlota, tu mente lo aceptará sin discusiones, y si te empeñas en creer que lo eres, terminará por aceptarlo como una verdad incuestionable y actuará de acuerdo con ella.

Tu subconsciente no sólo aceptará esta creencia limitante y actuará basado en ella, sino que, con el tiempo, hará que tu mundo exterior haga eco con estas creencias nternas, se adapte a ellas y termine por aceptarlas como un destino» (p. 43). Es incuestionable la «fobia» or decir lo menos, que nuestros estudlantes tienen p eces infundada por ori 1 Swp to page docentes que creen el inducirlos a aprender sin por eso que, en esta lo fácil que es entend es mejor forma de uiv dos que están. Es udar a comprender su esencia, desde su génesis…

DESDE LAS DEMOSTRACIONES. En la enseñanza de la Matemática existe la postura de enfrentar a los alumnos a situaciones similares a la de los matemáticos para que construyan su conocimiento versus la tradicional, que plantea: el alumno no tiene la capacidad de ntender y/o comprender las demostraciones de las propiedades o teoremas estudiados. Hay que aclarar que, con el término «similar, se refiere a situaciones donde se busca un conocimiento matemático y el desarrollo de habilidades en un nivel adecuado para el alumno.

Magister Artium en Matemáticas Aplicadas. Menc Mención: Docencia en Educación Superior, Universidad del Zulia (LUZ-2009). Diplomado en Docencia para la Educación Superior, Universidad del Zulia (LUZ-2006). Especialista en Educación Técnica, Universidad pedagógica Expermental Libertador (UPEL-1998). icenciado en Educación. Mención: Matemáticas y Física, Universidad del Zulia (LIJZ-1 990).. Profesor contratado de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEO desde 1998 hasta 1999).

Profesor contratado de la Universidad Rafael Urdaneta (URO, desde 1997 hasta 1999). Profesor contratado del Instituto Universitario Pedagógico Monseñor Rafael Arias Blanco (IUPMA, desde 1991) Profesor Titular de la Universidad José Gregorio Hernández (UJGH, desde 2009). E-MAIL. TLF: 0263-4735221. CEL: 0416-2697506. De tal forma que éste se involucre en un quehacer matemático. y, entre otras cosas, desarrolle un conocimiento funcional de la Matemática y no una mera aplicación de esta.

En consecuencia, con el actual énfasis en la enseñanza «significativa» de las matemáticas, los docentes son alentados a dedicar atención a la explicación y/o demostración de los conceptos matemáticos y a los estudiantes es pedido justificar los resultados obtenidos. Este parecería ser el clima justo para hacer de la mayor parte de las demostraciones un instrumento de aplicación y para ejercitarlas como una forma definitiva de justificación matemática.

Pero para que esto suceda, los estudiantes deben familiarizarse con los criterios del razonamiento matemático: en otras palabras, se debe enseñarles demostrar. Sin embargo, si nos paseamos por la tercera etapa de educación Báslca y el Diversificado Básica y el Diversificado, nos encontramos que el docente, en su mayoría, no realiza las demostraciones de los teoremas y fórmulas de los temas que les toca impartir alegando que el estudiante no esta «capacitado» o que no «entiende» dichas demostraciones. Esta situación ha provocado una gran preocupación entre los investigadores en Didáctica de la Matemática.

Greeno (1994), por ejemplo, ha centrado la atención sobre los malentendidos ligados a la naturaleza de la demostracion, cuando establece: Relativamente a la práctica didáctica, estoy alarmado por la tendencia de hacer desaparecer la demostración de las matemáticas preuniversitanas y creo que a esto se podría poner remedio mediante una mayor toma de conciencia del significado epistemológico de la demostración en matemáticas» (p. 270). También Schoenfeld (1994), contestando a la pregunta «¿Tenemos necesidad de la demostración en la Didáctica de la Matemática? , da una respuesta inequ(voca: «Absolutamente. ¿Debo decir más?. Absolutamente». Entonces, surgen las siguientes interrogantes: ¿Es necesaria o innecesaria la demostración en matemáticas? ¿el alumno no tiene la capacidad de entender las demostraciones? , ¿el docente no está capacitado para realizar y explicar las demostraciones?. Para dar respuesta a estas interrogantes, comenzaremos analizando algunas demostraciones y sus grados de dificultad, además de algunas falacias. 1 La ecuación de segundo grado. ¿Quién no ha usado alguna vez la famosa expresión: [pic]?.

Bien, vamos ha deducir, es decir, «demostrar esta fórmula: Comencemos escribiendo la ecuación a la cual resuelve deducir, es decir, «demostrafl esta fórmula: Comencemos escribiendo la ecuación a la cual resuelve: [pic], pic]; el método que seguiremos es el de completación de cuadrados: a. -) Dividamos toda la expresión por «a»: [pic]. Pasemos el término [pic] al otro miembro de la igualdad, obteniendo: [pic]. c. -) Sumemos [pic] a ambos miembros de la igualdad, resultando: [PiC] Al factorizar el primer miembro y operar en el segundo queda: [pic] e. ) Despejando «x», se obtiene finalmente que: Esta demostración de la resolvente de la ecuación de segundo grado es, realmente, sencilla y los conocimientos necesarios para su deducción están al alcance de un alumno del 90 de educación básica; entonces, ¿por qué se omite su deducción y solamente se plica como por arte de magia?. Otra propiedad relacionada con esta ecuación, [pic], es la siguiente: Si XI y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado, entonces ésta se puede expresar como: [pic], con «S» la suma de sus raíces y «P» el producto de sus raíces.

En efecto: [picl. (l) Cuyas raíces son: [pic] y [pic], entonces al sumar y multiplicar estas raíces, se obtiene: Al sustituir en (1 se obtiene: Como se observa, el resultado asi obtenido sólo hace uso del conocimiento adquirido por el joven hasta el grado en el que se encuentra, 90 de básica. Sin embargo, se necesita que el studiante haga uso de procesos mentales que le garanticen un comprensión del por qué s pasos que se siguen en 40F11 la demostración.

Tal com s (2004) pensamiento intervienen procesos complejos, rápidos, inconscientes y tan fugaces que no logramos memorizarlos. Los intentos de explicar el modo en que los procesos cognitivos tienen lugar son tan antiguos como la propia filosofía; desentrañar los mecanismos del pensamiento sigue siendo uno de los grandes retos del ser humano». (p. 45). En consecuencia el docente debe buscar en el estudiante la implementación de los procesos cognitivos básicos, a saber: 1. Observación 2. Comparación 3. Clasificación Definición 4. 5. Análisis 6.

Síntesis Memorización 7. 8. Inferencia 9. Seguir instrucciones Esto supone, si se logra, que el estudiante entendió. Entender es más que memorizar; es más que parafrasear con términos propios. La comprensión implica transformar y utilizar adecuadamente los conocimientos, las habilidades y las ideas que, en definitiva, es lo que se busca al realizar demostraciones matemáticas. 2. – La suma de los ángulos internos de un triángu o es 1800 Realicemos ahora esta demostracion: Sea el triángulo ABC. Sean ( sus ángulos internos. Debemos robar que: (+ ( + ( = 1800.

Basta trazar por cualquier vértice del triángulo ABC, en este caso por el vértice A, una paralela al lado opuesto y prolongar los otros lados, obteniéndose así la de este teorema de la Geometría Euclídea, no reviste más dificultad que la de haber estudiado la teoría de las paralelas en 80 grado. Por supuesto, cuando avanzamos al nivel universitario, las demostraciones adquieren un nivel de complejidad mucho mayor. Pero, ¿cómo enfrentarnos a ellas si no tenemos el entrenamiento de los años anteriores?. Esto es, la matemática preuniversitaria debe prepararnos para los retos de las

Matemáticas Universitarias. 3. – Demostraciones a nivel superior. Seguidamente se realizarán algunas demostraciones de la matemática universitaria para ver su nivel de dificultad. Demostremos el siguiente teorema del cálculo: «Si una función f es derivable en a entonces fes continua en a». DEMOSTRACIÓN: Si x está en el dominio de f y a, entonces f(x) puede expresarse de la manera siguiente: Tomando límites cuando x tiende a «a» en ambos miembros de la igualdad y usando los teoremas sobre limites, se tiene que: (pic] En consecuencia: Lo que nos indica que la función es continua en «a».

Obviamente, los argumentos utilizados en esta demostración son más «sofisticados» pero no difíciles de entender, aún cuando requieren un mayor conocimiento matemático. Veamos ahora este teorema del álgebra: «Un polinomio P(x) es divisible por (x-a) si y sólo si, a es un cero de P(x), o sea si se cumple’ DEMOSTRACION: resulta que P(a) — O. Si P(a) = O, como P(a) es el residuo de la división de P(x) por (x- a), resulta que: P(x) = + 0, lo que indica que la dlvisión es exacta. Esta demostración necesita un manejo fluido de la teoría de los polinomios. 4. – Falacias.

También es necesario advertir que algunas veces usamos demostraciones» que parecen «impecables» y nos llevan a resultados erróneos e increíbles. Tales «demostraciones» reciben el nombre de «FALACIAS». Veamos algunas: 4. 1. – Demostración de que 1 equivale a —1 Comenzamos con Ahora, los convertimos en fracciones Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos Que equivale a [picl Pero ya que [pic], podemos sustituirlo, obteniendo Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos Y ya que i2 — 1 tenemos como resultado iCuidado con lo que hacemos!

Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cua como resultado El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dlvidiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > O, lo que es, por cierto, correcto.

Sin embargo los errores, en vez de desanimarnos, deben ayudarnos a entender cual fue la causa del mismo y poder, en el futuro, no cometerlos. Para reforzar este punto de los errores en a demostración, anallcemos el ejemplo de la suma de los ángulos internos de un triángulo bajo otra perspectiva: 4. 3. – La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 1800 (la demostración no se basa en el postulado de las paralelas). Dividamos el triángulo ABC en dos triángulos mediante un segmento rectilíneo trazado desde el vértice y denote los ángulos con números tal como se muestra en la figura anterior.

Sea «K la suma de los ángulos de un triángulo, todavía desconocida; entonces: Sumando estas dos igualdades, se obtiene: Pero la suma:[pic] es la suma de los ángulos internos del triángulo ABC, es decir, también es x; y la suma de los ángulos 5 y 6, que son ángulos adyacentes, es igual a 1800. Al sustituir para hallar x, se tiene la ecuación: Con lo cual, hemos obtenido que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 1800, i3RILLANTE! , … ¿O NO? El error en ésta demostra fícil de conseguir, de conseguir, de visualizar, de detectar.

Se ha hecho costumbre aceptar la proposición de que la suma de los ángulos de un triángulo es constante (1800) para todos los triángulos, sin importar su forma n’ sus dimensiones. por esta razón, la mayoría de nosotros no protesta contra la proposición: Denotaremos la suma de los ángulos de un triángulo por x». Pero, en realidad, cuando se propone probar el teorema en cuestión, nada se sabe acerca de la suma de los ángulos del triángulo y no hay base alguna para suponer que es la misma para todos los triángulos.

Por supuesto, podría aceptarse sin demostración el hecho de que la suma es la misma y, en ese caso, los argumentos adelantados en efecto probarían que esta suma es igual a 1800. pero esto simplemente slgnificaría que se ha introducido otro postulado en lugar del postulado de las paralelas en la Geometría Euclídea. Este tipo de errores es muy común en los «principiantes» en las demostraciones matemáticas y consiste en aceptar como ciertos los conocimientos adquiridos hasta el momento sin una demostración matemática de los mismos, es decir, la fuerza de la «costumbre» hace que se acepte lo que se plantea sin dudar.

Por eso, en los cursos de Fundamentos de la Matemátlcas, no es raro encontrarse con alumnos que ante el hecho que se les pida demostrar que: «Todo número multiplicado por cero da cero», respondan: «¿Pero..?. Eso siempre es así, ya se ha estudiado! » En consecuencia, debe quedar claro que el conocimiento atemático para ser válido debe ser DEMOSTRADO, con los argumentos que da la propia matemática. Conclusiones. 1. Enseñar a los estudiantes a reconocer y a producir razonamientos matemáticos razonamientos matemáticos correctos es ciertamente un reto.

Todos nosotros sabemos bien que muchos estudlantes tienen dificultades para seguir cada clase de razonamiento lógico, aún mas una demostración matemática. En todo caso no podemos evitar este reto. Debemos encontrar los modos, por medio de la investigación y la experiencia en clase, de ayudar a los estudiantes a adquirir la habilidad y la comprensión de las que ienen necesidad. Fallar en esto nos privaría de un instrumento didáctico válido y a nuestros estudiantes de un elemento crucial en las matemáticas. . La enseñanza de las matemátlcas debe procurar que los estudiantes controlen y dominen las diversas prácticas argumentativas, así como ser conscientes de las relaciones dialécticas entre las mismas. No obstante, la complejidad del significado de los argumentos analíticos en el contexto de la matemática profesional implica la parcialidad de su comprensión y el dominio en los niveles de básica, secundaria e, incluso, universitaria. 3.

Debemos también reconocer que los procesos de validación, y por tanto las demostraclones, puestos en práctlca en tercera etapa de educación básica serán distintos de los realizados en secundaria y éstos diferentes a su vez de los universitarios. Esto de acuerdo con Balacheff (1987), cuando establece: «Es necesario tomar en consideración la naturaleza de la racionalidad de los alumnos y las condiciones de su evolución, pero también tomar en cuenta el análisis didáctico de los criterios aceptados de demostraciones que deben poder evolucionar en el curso de la escolaridad» (p. 170).