Matematica discreta

Matematica discreta gy ridickl 15, 2011 26 pagos Apuntes de Matem tica Discreta a 11. Teorema Fundamental de la Aritm ‘tica e Francisco Jos’ Gonz’ lez Guti’ rrez e ae C’ diz, Octubre de 2004 a Universidad de C’ diz a Departamento de Matem ‘ticas a Lecci’nllo Teorema Fundament PACE 1 or26 to View nut*ge Swipe to page Contenido 11. 1 N’ meros Primo u 11. 1. 1 Definici’n.. 011. 1. 2 N •meros Pri Teorema. . Criba de Erat ‘stenes . 11. 2. 1 Teorema . u 1 11. 1 . 3 proposici . 011. 1. 4 … 11. 2 1 1. 3 Teorema Fundamental de la Aritm tica Euclides Corolario -e 11. . 1 Lema de 11. 3. 2 11. 3. 3 Teorema Fundamental de la Aritm’ tica . . e 11. 3. 5 Corolario 11. 4 Divisores de un N’ mero u 11. 4. 1 Criterio General de DiViSibiIidad ‘ n de todos los Divisores de un N ‘ mero ou 11. 4. 3 N ‘ mero de Divisores de un N’ mero …. 11. 3. 4 1 1. 4. 2 Obtenci Compuesto . de un N ‘ mero Compuesto , . u u 11. 4. 4 Suma de los Divisores u 11. 5 M’todo para el C’ Iculo del M» ximo Corn’ n Divisory el M’ e a a u Inimo Com- n u M • Itlplo u 11. 5. 1 Lema…. 115. 2 Teorema 11. 5. 3 Teorema . 316 316 316 3173 2 OF Teorema…. .. 16316 316 317 318 323 323 325 325 325 326 329 331 332 332 332 333 335 339 340 340 341 El concepto de n’ mero primo se remonta a la antig -edad. Los griegos pose • dicho concepto, as • como u u lan I una larga lista de teoremas y propiedades relacionados con l. Los cuatro ejemplos siguientes aparecen e en los Elementos de Euclides: Todo entero positivo distinto de 1 es un producto de n’ meros primos. u — Teorema fundamental de la Aritm ‘tica: «Todo entero positivo puede descomponerse de manera e unica como un producto de n ‘ meros primos». u — Existen infinitos n meros prmos. 315 Departamento de Matem ticas a — Podemos obtener una lista de los n’ meros primos por medio el m’ todo conocido como la Criba u e de Erat ‘ stenes. o 1. 1 N • meros Primos u Observemos que si a es cualquier n mero entero mayor que 1, entonces u a = a • 1, con 1 E z, es decir, a es un divisor de a. a = 1 a, con a e Z, es decir, 1 es un divisor de a. luego todo n mero entero a > 1 tiene, al menos, dos divisores, el 1 y el propio a. u 1. 1. 1 Definici’no Diremos que el n’ mero entero p > 1 es un n’ mero primo si los unicos divisores positivos que tiene u u • son 1 y p.

Si un n ‘mero entero no es primo, lo llamaremos compuesto. u En el conjunto de los diez primeros n meros enteros positivos son primos 2, 3, 5 7, siendo compuestos u 4, 6, 8, 9 y 10. Nota 11. 1 Obs’ rvese que de la definici•n de n mero primo se sigue que e o u p es primo si, y s’ lo si es imposible escribir p = ab con a, b E Z yl a, b < p. o 1. 1. 2 meros primos entre s • u Dados dos n meros enteros a y b, diremos que son primos entre s' cuando el m' ximo com'n divisor u l, a u de ambos sea 1.

La definici ‘n anterior admite generalizaci n a una familia de n’ meros enteros al , a2 , an . Dichos o o un’ meros ser n primos entre s’ cuando u a l, m. c. d. (al , a2 , , an ) – 1 Ejemplo 11. 1 s’ l. Soluci’n o Observemos lo siguiente: 2(3n + 7) = 6n +22 -6n -21 – – 1 luego por el corolario ?? , se Slgue que m. c. d. (3n + 11, 2n + 7) = 1 316 Demostrar que cualquiera que sea n E z, los n’ meros 3n + 11 y 2n + 7 son primos entre u Matem ‘tica Discreta a Veamos otra forma de probar lo mismo. Si d = m. c. d. (3n + 11, 2n + 7), entonces d Veamos otra forma de probar lo mismo.

Si d m. c. d. (3n + 11, 2n + 7), entonces d13n + 11 C] y = + 11) – 3(2n +7) Ü d12n d16n +22—6n -21 d II d = 1 Por lo tanto, ambos n • meros son primos entre s’ u 1. 1. 3 Proposici’no Todo n ‘ mero compuesto posee, al menos, un divisor primo. Demostraci»n o Probaremos que Si un n mero entero a es compuesto, entonces tiene, al menos, un divisor prmo u Lo haremos por contradicci ‘ n, es decir supondremos que la proposici n anterior es falsa o lo que es igual o o que su negaci ‘n es verdadera, o sea, o El n’ mero entero a es compuesto y, sin embargo, no tiene divisores primos. Entonces, el conjunto C n EZ+: n es no vac’ ya que, al menos, a E C. 10 Pues bien, como C es un subconjunto no vac de Z+ , por el principio de buena ordenaci ‘ n tendr’ un 10 0 a primer elemento m. Entonces, C] Cl m es compuesto y m e C – C] m no tiene divisores primos rnl : ml = 1, ml =myml Cl ml no es primo 3m1 , compuesto ml lmyl < ml < m. Ahora bien, si ml no tuviera divisores primos, entonces ml C siendo ml < m, lo cual es imposible ya que m es el m' Inimo de C, por lo tanto ml ha de tener, al menos, un divisor primo p. Pero pl ml ml lm plm 2, compuesto y sin divisores s OF ha de tener, al menos, un divisor primo p.

Pero pl ml ml lm — pl m 2, compuesto y sin divisores primos es decr m tiene un divisor primo lo cual es una contradicci ‘n ya que m G C, es decir no tiene divisores o primos. Consecuentemente, la suposici ‘ n hecha es falsa, y, por lo tanto, si n n’ mero es compuesto, entonces ha o u de tener, al menos, un divisor primo. Euclides demostr- en el libro IX de los Elementos que exist’ infinitos n’ meros primos. La arguo lan u mentaci’n que utiliz’ ha sido considerada desde siempre como un modelo de elegancia matem tica. o o a 317 Departamento de Matem ‘ ticas a 11. 1. 4 Teorema Existen infinitos n » meros primos. Demostraci n o Supongamos lo contrario, es decir la cantidad de n meros prmos existente es finita, pongamos, por u ejemplo, que s’ lo hay k n’ meros primos, o u pl , p 2, , p k. pues bien, sea m el producto de todos llos m’ s 1, es decir, am = pl • p2 • pk 1 Entonces, m = pi , i -1,2, . , k es decir es distinto de todos los primos que existen, luego no puede ser primo, de aqu’ que sea compuesto I y, por el teorema anterior, tendr• , al menos, un divisor primo que tendr que ser uno de los existentes, a a o sea, existe pj conj E {1, 2, 6 OF un divisor primo que tendr’ que ser uno de los existentes, aa o sea, existe pj con j E {1, 2, . k} tal que pj lmy como pj pl • p2 pk entonces dividir a la diferencia de ambos, a pjlm—pl •p2• pk luego, pj II de aqu• que p] = 1 • pj- 1 y esto es imposible ya que pj es primo. I o De la contradicci n a la que hemos llegado, se sigue que la suposici ‘n hecha es falsa y, por tanto, existen o o infinitos n’ meros primos. u Nota 1 1. 2 Directamente de la demostraci•n del teorema anterior, puede deducirse que si pl , p2 , . pn o son los n primeros n meros primos, entonces el siguiente, pn+l , ha de ser, a lo sumo, igual al producto u de los anteriores m ‘s 1, es decir, a pn+l (pl pn ) + 1 En efecto, sea m pl • p2 p2 pn+l — Si m es prmo, entonces pn < m y, por tanto, pn+l m — Si m no es primo, entonces es compuesto siendo sus factores rimos diferentes de los pl , p2, , pn , ya que como hemos visto en la demostraci•n del teorema, ninguno de los pi , 1 0 i n, puede dividir a m. Supongamos que ml es el menor factor primo de m, entonces pn < ml .

En efecto, si pn fuese mayor o igual que ml , entonces ml pn – lo cual, mayor o igual que ml , entonces ml pn Aj e {1, 2, lo cual, hemos visto, es imposible, por tanto, pn < m 1 de aqu que I pn+1 318 ml < m Francisco Jos' Gonz• lez Guti' rrez e ae Ejemplo 11. 2 por 10. Soluci'no Demostrar que si p = 5 es un n mero primo impar, entonces p2 — 1 ' p2 + 1 es divisible u o Por el teorema de existencia y unicidad del cociente y resto, existen q y r, enteros y unicos tales que ' p — Sq + r, con Oy como p es primo, r no puede ser cero, luego p = 5q + r, con r = 1, 2, 3 4 0 Adem's, por hip ' tesis p es impar.

Entonces, a o p es impar 21p+ 1 Antes que nada probaremos que r es p+ 1 es par q es par En efecto, r es impar Impar 21p r a2 > a3 > • • • > ak—l con a = pl p2p3 • pk—l ak—l donde ak—l es primo o es la unidad, entonces tomando ak—l = pk, si es primo o ak—l 1, se sigue que a -pl p2 p3•• pk—l o a – pl p2 p3 • • pk-l pky a est’ escrito como un producto de factores rimos. a Unicidad.

Supongamos lo contrario, es decir a puede descomponerse en producto de factores primos de dos formas distintas: a pl p2 p3 • pk , siendo los pi primos para 1 ya = ql q2 q3 • • qr , siendo los qj primos para 1 j pk , siendo los pi primos para 1 ya ql q2 q3 qj primos para 1 jr. ik qr , siendo los Supondremos, tambi n, que el n ‘ mero de factores es distinto, o sea, k = r. Tomaremos, sin perder e u generalidad por ello, k < r. pues bien, a = pl (p2 p3• pl I a --3 pl Iql q2 q3 qr pl qj para alg'njentre 1 y r. Corolario 11. 3. 3}U—— pl =qj, ya que qj es primo y pl 1. 329 Podemos suponer que j = 1. Si no lo fuese bastar' con cambiar el orden de los factores. Tendremos, la pues, que pl = ql y pl p2 p3• pl de donde, al ser pl = O, se sigue que p2 • q r Sea ahora al p2p3 • pk y • qr . Entonces al < a, yal = p2 (p3 p4• al q3 p2 lal p2 Iq2 q3 q4•• • qr-. p2 qjpara alg'njentre 2 y r. {corolano 11. 3. 3} u - p2 = qj , ya que qj es primo y p2 = 1. Y, ahora, podemos suponer que j 2.

Bastar» cambiar el orden de los factores si no fuese as’ la l. Tendr’ lamos que p2 = q2 y, por lo tanto, p2p3• • pk = p2 q 3 • • • q r y, al ser p2 = 0, tendremos que p? ?? q r y llamando a2 — p3 p4• pky a2 = q3 q4 • qr . se tiene que a2 < al < a. Com q 4 • • q r y llamando a2 p3p4 • pky a2 q3 q4•• • qr . se tiene que a2 < al < a. Como k < r, si repetimos el proceso k- 1 veces, tendremos que ak—l = pk y ak—l qk qk+l • qr . siendo ak—l < ak—2 < a2 < al < a.

Entonces, ak-l – pk=— pk lak—l • qr-— pk Iqj para alg’nj entre k y r. pk Iqk qk+l qk+2 (Corolario 11. 3. 3) u pk = qj, ya que qj es primo y pk = 1 y, razonando igual que en los pasos anteriores, podemos suponer que j k, o sea, pk qk y, pk qk • qk+l qry al ser pk – O, tendremos 1 k+l qk+2 • qr de donde se sigue que qk+l — qk+2 — • qr— 1 lo cual es imposible ya que estos n’ meros son primos, por tanto, k = r y u a = pl p 2 • p 3 • • • pk siendo, pues, la descomposici’n unica. ‘ 330 11 . 3. 5 Sea a un n’ mero entero tal que lal > 1, entonces a tiene una factorizaci’n unica de la forma: uo ‘ a = ±pal pa2 • pak2 1 k siendo k 1, los pk primos distintos con pl < p2 < . < pkyail para 1 i k. Demostraci'n o - Si a > 1, por el Teorema fundamental de la aritm ‘tica, a puede descomponerse en factores prie mos. Agrupamos todos los primos iguales a pl en el factor pal