matematicas

5. GUÍA DE REPASO: «OPERANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS» Se define una expresión algebraica como «la combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras representan cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas» Las expresiones algebraicas permiten traducir expresiones del lenguaje habitual al lenguaje matemático. Ejemplo: Si se quiere expresar el perímetro y el área de un terreno rectangular, el largo del terreno, mide » » metros y » » metros de ancho, entonces: Perimetro= 2x+2y Área = x y Otros ejemplos El doble de un número 2n La mitad de un número n/2

El doble de la suma de m y n 2(m+n) El cubo de n disminuido en 7 n3-7 El triple del cuadrado de p 3p2 El triple de la suma de m, ny p 3(m+n+p) Alcides Astorga del Instituto Tecnológico de Costa Rica, define una expresión algebraica como «una combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por algunos de los símbolos +, *, l, en un número finito y cada cantidad separada de otras por el signo + ó -, recibe el nombre de Término Algebraico» .

En un término se deben distinguir los siguientes elementos: • Variables: Son cantidades expresadas con letras que pueden omar valores dentro de un subconjunto de números reales, para representarlas se utilizan las últimas letras del abecedario • Constantes: Son cantidades fijas expresad Svvipeto next page expresadas con letras, para representarlas se utilizan las primeras letras del abecedario (a,b,c). • Coeficiente: es el factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando.

En el término 6a2 el coeficiente es 6, también puede ser una literal, así en el término mx el coeficiente es m. • Exponentes: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones. ?? El signo, que precede al término, puede ser + o Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

Por ejemplo, si se tienen cajas de plástico con 4 espacios para bebidas, se puede denominar a cada caja que tengan todos sus espacios con bebidas mediante la letra «a», a cada caja que tenga un espacio libre mediante la letra «b», «c» a cada caja que tengan 2 espacios libres, «d» a cada caja que tengan 3 espacios libres y «e» a cada caja que no tenga bebidas. Así, la expresión 3a + Sb + c +5d + e indica que hay 3 cajas llenas con bebidas, 5 a las que les falta una bebida, 1 a la que le faltan 2 bebidas, 5 a la que le falta 3 bebidas y una que no tiene bebidas.

Simplificación de términos semejantes: Si una bodega tiene distintos estantes y se quiere construir un inventario con el número de cajas de bebidas de distinto tipo (ejemplo ante io En el primer estante hay 4 cajas llenas con las 2 OF distinto tipo (ejemplo anterior). En el primer estante hay 4 cajas llenas con las bebidas y 2 con 2 espacios libres y 24 con 3 espacios libres. La expresión: (aa + 2c 24d) epresenta la situación en el primer estante. En el segundo estante hay 1 caja con un espacio libre y 5 con 3 espacios libres. La expresión: representa la situación en el segundo estante.

En el tercer estante hay 8 cajas llenas y 2 con 2 espacios libres. La expresión (8a + 2c) representa la situación en el tercer estante. uego en la bodega se tiene (4a + 2c + 24d)+ (b + 5d) + (8a + 2c) = «a + 8a) + b + (2c + + (24d + 5d) lo que se puede reducir a 12a + b + 4c + 29d. Luego la simplificación de términos semejantes significa sumar o restar los términos que tengan los mismos factores literales. . 1 . EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Se evalúa una expresión algebraica cuando se asigna valores numéricos a los factores literales.

En el ejemplo anterior (de la bodega), si se quiere determinar cuántas bebidas hay en total. Así las cajas tipo «a» contienen 4 bebidas, las tipo «b» contienen 3 bebidas, las tipo «c» contienen 2 bebidas, las tipo «d» contienen 1 bebida y las tipo «e» contienen O bebidas. Luego para determinar el número total de bebidas que se tiene en la bodega basta sustituir a = 4, b= 3, c=2, y e=0. ASÍ la expresión: 12a + b + 4c + 29 d = – 88 ego se tiene 88 bebidas en la bodega. Asimismo para contar = 88 Luego se tiene 88 bebidas en la bodega.

Asimismo para contar los espacios libres en las cajas sirve la misma expresión algebraica sustituyendo ahora a = O, b = 1, c=2, d—3, 12a + b ac + 29d = 12(0) (l) 4(2) 29(3) = 96 Otros ejemplos de expresiones algebraicas son: a) b) c) 4xy2+ 5. 2. USO DE PARÉNTESIS EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Se debe recordar que en una expresión numérica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas. Así:

Las mismas reglas aplican a las expresiones algebraicas. Ejemplos: ((a + 3b – 53 + 4 a + (6b +2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 3b +95 + 2d 125 + 2d 5. 3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES a) VARIABLES: Es una letra o símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto numérico, se acostumbra representar las variables con letras que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Por lo regular se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc. ) para denotar variables. ) CONSTANTES: Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan as primeras letras del abecedario para denotar constantes Algunos ejemplos de constantes conocidas:: 3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751 . 2. 71828182845904523536028747135266249775724709369995… c) COEFICIENTES: Se asigna el nombre de Co Se asigna el nombre de Coeficientes a «los números que aparecen multiplicando a las variables» En un término, se dice que cualquier factor es coeficiente de los factores restantes.

Por ejemplo, en el término 3x3y2, el 3 es coeficiente de x3y2, x3 es coeficiente de 3y2 y y2 es coeficiente de 3×3. «Los coeficientes que sean números (como el tres del jemplo anterior) se dicen coeficientes numéricos, mientras que los coeficientes que sean letras se dicen coeficientes literales» d) EXPONENTES: Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones; es el número o expresión algebraica colocada a la derecha y arriba de otro que indica la cantidad de veces que ha de multiplicarse por sí mismo: en 892, el 2 es el exponente y la expresión significa 89*89.

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la siguiente tabla, representa el producto del número real «a» multiplicado «n» veces por sí mismo. La expresión an se lee «a» a la enésima potencia o simplemente «a a la n». El entero positivo se llama exponente y el número real a se llama «base». Caso General Casos Especiales an=a*a*a*… a a2— a*a a5=a*a*a*a*a 2. – es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en I sap 3an significa 3(an) pero no (3a)n.

El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an. Ejemplo Ampliando la definición de an a exponentes no positivos: exponente cero y negativo. Definición (a O) Si m y n son enteros positivos, entonces En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ; es decir, De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación: Ley Ejemplo 6 ap Las leves de los exponent era lizarse: algebraico es el factor numérico y ab es el coeficiente literal.

Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo: La expresión: 3xy2 tiene grado 1 +2 — 3; -0. 03 a 5b2Cde4 tiene grado 5+2+3+144=15 Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino lgebraico, recibe el nombre de Monomio, o sea que un monomio puede ser una constante o bien, una expresión algebraica en la cual las potencias de las variables son de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras en el denominador .

Ejemplos de Monomios: 1) -6xy2z 2) 3) 4) s Ejemplo de expresiones algebraicas que no son Monomios: 1) 6″ 2) 3) gx-3Y2 4) 3×1/2 Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos recibe el nombre de Binomio, o sea que un binomio es un polinomio que está formado por la suma de dos monomios que no son semejantes entre sr Ejemplos de Binomios: 1) -6xy2z+xyz 2) -y 3) 4) 5+x Si una expresión algebraica tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio, es decir, un trinomio es un polinomio semejantes entre sí. ) -6xY2z+xyz-1 2) -51+1/2 3) -2 4) 5+X+Y Se debe recordar que las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios. 5. 4. GRADO DE UN MONOMIO: Se denomina grado de una expresión algebraica a la suma de los exponentes de MONOMIO: Se denomina grado de una expresión algebraica a la suma de los exponentes de las variables . De acuerdo a esta definición el grado de los siguientes monomios es: ) -2×2 de grado 2 2) 3x de grado 1 3) -5×3 de grado 3 Si una expresión algebraica contiene más de una variable, entonces el grado de esta expresión se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en ella.

Por ejemplo, el grado del monomio xy es 2, porque es la suma del exponente de x (que es 1, porque x = XI) y del exponente dey (que también es 1). El grado del monomio es 11, que es la suma de 3 (exponente de x), 2 (exponente de y) y 6 (exponente de z). Nótese que el grado del monomio 5×2 sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre se considera que en un monomio parecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo considerar que están elevadas al exponente 0.

Por ejemplo, en la ecuación xy – 13y3 = 4 los monomios son xy (aparecen las dos incógnitas de la ecuación, y su grado es 2), — 13y3 (aparece sólo la incógnita y, pero aparece también x con exponente 0, puesto que xo 1) y 4 (no aparecen ni x ni y, pero se puede considerar como xOyO). Así, viendo la ecuación como xy — 13x0y3 = 4x0yO. Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El monomio 4 tiene entonces grado O. 5. 5.

TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos terminos son semejantes cuando ambos son numéricos o uando tienen las mismas variables y sus exponentes semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales . Semejantes NO semejantes 6; -136; -13a -3X; 11XY 5. 6. OPERACIONES CON MONOMIOS: Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad, conmutatiavidad, distributividad, etc), así como las propiedades de las potencias y de los radicales. . 6. 1Suma de Monomios: Solamente se pueden sumar dos o más monomios si son emejantes, la suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes, es decir : axn + bxn = (a+b)xn Nota: recordar que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. Sumar: 1) sa, (5 + 7) a 12a 2) -1 lm, 8m 1 +8)rn -31-n 3) —xy,-9xy (-1 + -9)xy -10xy 4) mn,-11 mn (1 + (-11))mn -10mn 5) gab, -15ab (9 + (-1 -6ab 5. . 2 Resta de Monomios: La resta de monomios se define como la operación inversa de la suma: se dice que ax-bx=cx, si cx+bx=ax. O sea que la resta entre el monomio ax y el l monomio cx tal que cx + ados en ese orden, es sta que se plantea es «minuendo» y el monomio «bx» sustraendo, con respecto a la operación planteada. Entonces la aresta es un número que sumado al sustraendo da como resultado el minuendo . Nota 1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad.

El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota 2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas variables y afectadas por los mismos exponentes . De: 1) -7a Restar4a – (-7a) + 4a) = (-7 + = -1 la 2) 8m Restar 1 1 m = (8m) + ( -11 + -11)m -3m 3) -mn Restar -9 mn – (-mn) + 9)mn = 8mn ) – 8xy Restar -1 lxy (-8XY) + -1 IXY) 3XY 5) 2a Restar 3b 2a + -3b = 2a-3b ya que las literales no son semejantes, no es posible simplificar la expresión algebraica. . 6. 3 Multiplicación de Monomios: La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base, es decir : axn * bxm = (a * b )xn+m Multiplicar: 1) -ab por ab = al*lbl+l = 2) 5a2y por -6×2 = a2x2y = -30a2x2y 3) -4m2 por -5mn2p (-4)(-5)m2+1 n2p) 20m3n2p 4) 2×2 por 3Y2 = ( = 6X2Y2 5) zrn por = = 8rn3r12 10