matematicas

1. 1 Introducción. 1. 2 Uso de la Ecuación. 1. 3 ipo de Ecuación. 2. Definición General. 2. 1 Conjunto de Ecuaciones. 2. 2 Casos Particulares. 2. 3 Propiedades de las Ecuaciones. 3. Ecuaciones Algebr 3. 1 Definición. 3. 2 Forma canónica. 3. 3 Grados. 2 next pas 3. 4 Ecuación del Primer Grado. 3. 4. 1 Resolución de ecuación de Grado. 3. 4. 12 Simplicación. 3. 4. 1. 3 Despeje. Introducción: resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, conocidas con el nombre de c» ubicas y cu ‘ articas respectivamente.

Al parecer Scipione del Ferro fue el primero en descubrir na f’ ormula para resolver ecuaciones de tercer grado. Los descubrimientos de del Ferro no fueron divulgados y fueron redescubiertos m’ as tarde por Nicolo Fontana (1500? -1557), conocido con el nombre de Tartaglia («El Tartamudo»). El m ‘ etodo para resolver la c’ ubica fue guardado en secreto por Tartaglia hasta que se lo comunic ‘ o a Hieronymo Cardano (1501-1576) con la condici’ on de que no lo hiciera p’ ublico.

Sin embargo, Cardano rompi• o su promesa con Fontana y en 1545 public•o la f • ormula de Tartaglia en su libro Artis Magnae sive de Regulis Algebricis, m ‘ as conocido con el nombre de Ars Magna. En este libro Cardano no s • olo publica la f • ormula de Tartaglia, sino tambi ‘ en la soluci on de la cu ‘ artica que entretanto hab ‘ la sido descubierta por udovico Ferrari (1522-1565). Vamos a ver como resolver la c ubica aX3 + bX2 + cx + d (a 6- O). (4) Est’a claro que dividiendo por a podemos suponer que a = 1. Adem ‘ as podemos suponer que b = 0 haciendo el cambio X 7.

X + À para un valor de À apropiado. M ‘ as concretamente, si ponemos X3 + bX2 + cx + d (X +À)3 3ÀX2-2À2X À3+bX2 (b – 2 2 bX2+cX À)3-3ÀX2 2À2X À3+bX2 cx + À) 3 + (b — 3À)X2 + (c — 3À 2 )X+ d —À3 . Por tanto, si elegimos X = b 3 y ponemos Y = X+ b 3 , entonces la ecuaci ‘ on (4) es equivalente a la siguiente Y 3 +c-3 ba2! Y -b 3 + d- b a 3. (5) 1 2 Es decir, para resolver la ecuaci on (4) podemos primero resolver la ecuaci ‘ on (5) y despu ‘ es calcular las soluciones de la ecuaci on (4) poniendo X = Y – ba . La ecuaci on (5) tiene la forma X3 + pX+ q O. 6) Por ejemplo, podemos plantearnos el problema de calcular la longitud de las aristas de un cubo cuyo volumen sea seis unidades mayor que el ‘area total de las caras exteriores. Si X es la longitud de una arista, entonces el volumen s X3 y cada una de las seis caras exteriores tiene una ‘area igual a X2 . por tanto X satisface la ecuaci’ = 6X2+6 ‘o X3 – – 6 = O. Poniendo Y = X- 2 nos quedamos con la ecuaci• on O = (Y 12Y+8-6Y2-24Y 24-6= Y 3 — 12Y — 22. Para resolver la ecuaci’ on (6) del Ferro y Tartaglia pon lan X = u + v con lo que la ecuaci on (6) se convierte en u 3 3u 2 v +3uv2 + v 3 + pu + pv v 3+ (3uv + + v) + q = 0.

Como hemos cambiado una variable por otras dos, es natural imponer alguna condici ‘ on adicional entre las dos variabl 2 cambiado una variable por otras dos, es natural imponer alguna ondici ‘ on adicional entre las dos variables u y v. Por ejemplo, la ultima ecuaci ‘ on se simplifica bastante si ponemos 3uv + p = O, con lo que nos quedamos con el siguiente sistema u 3 + 3 + q O, v p 3u de donde se obtiene u 3 —p 3 27u 3 + q O. Multiplicando por u 3 obtenemos u 6 + qu3 — p 3 3 = 0 (7) que parece m • as complicada que la ecuaci• on original de grado 3 ya que tiene grado 6.

Sin embargo la ecuaci ‘ on (7) es una ecuaci ‘ on de grado 2 en u 3 de donde deducimos que u 3 = —q ± p q 2 + 4(p/ 3)3 2 = -q 2 ± r q 24+ p 3 3 . En este momento es muy tentador oncluir que u = 3 s —q 2 r q 2 4+ p 33 3 lo que proporciona 6 soluciones de la ecuaci’ on (7) ya que si w —1 2 entonces w 3 – 1, con lo que si uOy ul son ra’ Ices c’ ubicas de -q2+qq 24+ p 33y-q2 q q 24+ p 3 3 respectivamente, entonces uO, wu0, GJ2u0 son ra’ Ices c’ ubicas de — q 2+ q q 24+ p 33 y ul, wul y w 2u1 son ra’ Ices c’ ubicas de —q 2 —q q p 33 .

Por tanto, una vez calculado v p 3u , obtenemos una soluci ‘ on X u + v para cada uno de los seis valores obtenidos de u. Esto no puede ser correcto ya que una ecuaci ‘ on de grado tres tiene a los sumo tres soluciones. A pesar de esto s’ olo obtendremos tres oluciones. En efecto 12 los sumo tres soluciones. A pesar de esto s olo obtendremos tres soluciones. En efecto, obs ‘ ervese que — q 2+ r q 24 + p 3 -p33=u3 v 3 .

Por tanto, si u es una ra•lz Cubica de —q2+qq24+p3 3, entonces v —— p 3u es una ras c’ ubica de — q 2 —q q 24+ p 33 . En conclusi• on, las seis soluciones de (7) son u, wu, w2u, v = – p 3u , wvyw 2vy, como hemos impuesto que uv- – p 3, podemos unir las tres primeras con las tres segundas y obtener las tres soluciones siguientes de la ecuaci ‘ on original (6): al – u + v, a2 = wu + w 2 v, w 2u + Esto no tiene el aspecto e una f • ormula.

Teniendo en cuenta la relaci on obtenida entre los cubos de uy v nos gustar ‘ la poner algo as’ como X – 3s-q2+rq24+p33+3s-q2-rq24+p33, (8) lo que efectivamente nos servir • a para calcular las tres soluciones de (6), si tomamos la siguiente precauci’ on: Si u es la primera ras IZ c ‘ ubica y v es la segunda, entonces uv — – p 3 .

Por ejemplo, en la ecuaci- on Y 3- 12Y – 22 = O que nos ha aparecido al plantearnos el problema de calcular el lado Y 2 de un cubo cuyo volumen sea seis unidades mayor que el ‘area total de los lados –12yq=-22 con lo que Y exteriores, tenemos p – 21+64+3 q 11-/121 sap 12 lados exteriores, tenemos p = —12 y q = —22 con lo que Y = 3 q 11 «121+64+3q11-„’121 +64=3q11+v’185+3q11 185. por tanto el lado del cubo buscado es X = 2+3 q 11 185 + 3 q 11 — q 185 ya que no debemos considerar soluciones complejas. La soluci ‘ on de la cu ‘ artica encontrada por Ferrari utiliza argumentos similares a los que hemos visto para resolver la c • ubica, aunque algo m as complicados. Una vez descubiertas f’ ormulas para las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, resultaba natural buscar f’ ormulas para esolver las ecuaciones polin ‘ omicas de grado mayor que cuatro.

Doscientos a -nos despu ‘ es de que Cardano publicara las soluciones de la c’ ubica y la cu artica encontradas por del Ferro, Tartaglia y Ferrari, segu ‘ la 4 sin encontrarse una f’ ormula para la ecuaci on de quinto grado a pesar de que primero D’Alembert en 1746 (de forma incompleta) y m’ as tarde Gauss en 1799 hab ‘ lan demostrado el Teorema Fundamental del Algebra, que afirma que todo polinomio no constante con coefic ‘ ientes complejos tiene al menos una ra’ El Teorema Fundamental del Algebra muestra ‘ Ices o no, sino ue el problema no es si un polinomio tiene ra si sus ra’ Ices son expresables en t’ erminos de los coeficientes mediante operaciones algebraicas elementales. ¿Cu ales s 6 2 expresables en t’ erminos de los coeficientes mediante operaciones algebraicas elementales. ¿Cu ‘ ales son estas operaciones algebraicas elementales? Si observamos las expresiones (3) y (8) parece natural considerar como operaciones algebraicas elementales son las sumas, restas, productos, cocientes y extracciones de ra’ Ices n- ‘ esimas. Una expresi ‘ on de las soluciones de una ecuaci on algebraica de este tipo es onocido como soluci on por radicales.

En 1770 Lagrange public ‘o un trabajo titulado R’ eflexi on sur la r • esolution alg ‘ ebrique des equations en el que estudiaba c’ omo podr’ lan permutarse las soluciones de una ecuaci ‘on polin • omica. Si al , a2, , an son las soluciones de una ecuaci’ on polin ‘ omica P(X) 0, donde P(X) = xn an-lxn-l + • + a2X2 + ao entonces P(X) = (X – al — a2)• • ‘(X an). Desarrollando el producto de la derecha e igualando coeficientes se obtienen unas relaciones entre las soluciones al, 02, . . , an y los coeficientes del polinomio P(X). Por ejemplo, la primera y ‘ultima relaci ‘ on son ao = (-1)na1 a2 • —(al Q2 + • • • an). Estas f’ ormulas ya hab ‘ lan sido an an—l observadas por Cardano y Vieta y son conocidas con el nombre de F’ ormulas de Cardano-Vieta.

Como es natural el orden en que se escriban las raz Ices no afecta al polinomio, lo cual se refle natural el orden en que se escriban las ra’ Ices no afecta al polinomio, lo cual se refleja en que las expresiones de los coeficientes en t’ erminos de los coeficientes del polinomios en las F • ormulas de Cardano-Vieta son sim etricas, es decir, el esultado no se ve afectado por permutar el orden en que se escriben los coeficientes. Recordemos que para resolver la ecuaci on (6) lo que hemos hecho es empezar resolviendo la ecuaci on (7) que se llama resolvente de la ecuaci ‘ on (6). La raz ‘ on por la que podemos calcular las soluciones de la resolvente es que en realidad se puede considerar como una ecuaci ‘ on de grado 2. Lagrange observ•o que la soluci• on de Ferrari de la ecuaci on de cuarto grado consist• la en encontrar otra ecuaci ‘ on de grado 3 cuyas soluciones estaban conectadas con las soluciones de la ecuaci ‘ on de cuarto grado original. Es decir, la ecuaci ‘ on de cuarto grado tambi en tiene una resolvente de grado 3.

Obs ‘ ervese que la relaci’ on entre las soluciones al, Q2 y a3 de la ecuaci•on (6) y las soluciones ul = u, u2 = wu, u3 = 2u, u4 = v = p 3, u5 yu6 es al = u + v = ul +u4a2= + = u2 + u6 Q3 = u) 2u + cov = u3 + us Utilizando que 1 -H_J 2 = 0 y 3 = 1, se pueden obtener las siguientes expresiones para las soluciones de la resolvente (7) , en t • erminos de las soluciones 8 2 las siguientes expresiones para las soluciones de la resolvente (7) , en t’ erminos de las soluciones de la ecuaci on original (6): l = 1 3(ct1 + w 3 (Q2 + + w 2a3) 113 = I 3(a3+wa2+W2a1) u4=1 3 (al +wa2 W2a3)us-1 3(a3 wal + w 202) u6 1 3 (02 + wa3 + w 2a1). (9) Lagrange observ’o que para pasar de una soluci ‘ on de la resolvente a otra bastaba con permutar los papeles representados por las tres ra Ices al, a2y a3 de la ecuaci ‘ on original que se pretend’ la resolver. La observaci ‘ on de Lagrange es notable porque muestra un m ‘ etodo general para encontrar ecuaciones resolventes que no depende de la feliz idea de realizar el cambio X = u v. Consideremos la cu artica X4 — pX3 + qX2 — rX+s 0 (10) y sean al, Q2, a3 y a4 las soluciones de (10). Las potencias de w utilizadas en las expresiones (9) son las soluciones de la ecuaci on X3 = 1, conocidas como ra’ Ices terceras de la unidad. Las ra ‘ Ices cuartas de la unidad, o sea las soluciones de la ecuaci’ on = e i 3 = -i. Consideremos los 24 n’ umeros 1, son 1, i, 12 -1 = 1 4 (ai + iaj+ i 2ak + i 3al) (11) donde (i, j, k, l) es un elemento del conjunto S4 de todas las permutaciones de 1 , 2, 3 y 4.

Definimos la resolvente de (10) como V(X) = Y (i,j,k,I)ES4 (X – La ecuaci ‘on cp(X) = O parece ser resolvente de (10) como cp(X) = Y La ecuaci on cp(X) = 0 parece ser m ‘ as complicada que la de grado uatro original porque tiene grado 24, sin embargo una vez que desarrollamos el producto de los X — en t • erminos de las desconocidas ra Ices ni y utilizamos las F» ormulas de Cardano- Vieta observamos que ç(x) = P(X4 ) para un polinomio de P de grado 6. Adem • as el polinomio P resulta ser el producto de dos polinomios de grado 3. O sea cp(X) Pl(X4 )P2(X4 ), donde Pl y P2 son polinomios de grado 3 cuyos coeficientes dependen de los coeficientes p, q, r, s.

Resolviendo las ecuaciones PI(X) = O y P2(X) obtenemos los valores de los 24 elementos con lo que utilizando las f’ ormulas (11) obtenemos las cuatro soluciones e la ecuaci ‘ on (10). Aunque Lagrange no consigui ‘o ir m ‘ as all a en el camino de la b • usqueda de la soluci• on de la ecuaci on de quinto grado, marc’ o el camino a seguir. La resolvente de la ecuaci ‘ on de quinto grado conduce a una ecuaci ‘ on de grado 120 que es una ecuaci ‘ on de grado 24 en X5 . Inspirado en los trabajos de Lagrange, en 1 799 Ruffini (1765-1822) public ‘ o un trabajo titulado Teor’ la generale delle equazioni que conten ‘ la una demostraci ‘ on, poco rigurosa, aunque esencialmente correcta, de que la ecuaci ‘ on general de quinto grado no es resolub 10 12