Problemas de fisica

Problemas de fisica gy carlosenriqucz ,qexaúpR 02, 2010 6 pagos PROBLEMAS RESUELTOS ECUACIONES DEFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES l. Resolver Y” + Y- t, Y (0) = -2. Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferenclal y utillzando las condlciones dadas, tendremos -sy (0) – Y’ (0) IS2 s2y —s +2 + y = Is2 Entonces y = Y — Is2 S2+1 + s-2s2+1 = IS2 – IS2+1 +SS2+l – 2S2+1 + SS2+1 – orfi to View nut*ge comprobación: y = —- cos t 3 sen t. la función encontrad cos sen t – sen gt— 3 cos t, Y = 1, =-2, luego

Existe otro método, usando la integral de la convolucion, en el problema 7; en tal caso se hace a = 1, F t. 2. Resolver Y ‘ -3W+ = 4e2t, Y(O) = -3, Y ‘(0)-5 Tenemos que I Y • -31 Y’ + 21 Y —41 e2t S2Y-s YO- sy. Y (0) + 492 s2F3s – 5 -3 sy+3 + 2)’ — 4s-2 (s2 – 3s+ 2) y + – 14 = «-2 Y – 462 – 3s+ + 14-3ss2 – 2 Tenemos que I Y’ ‘ + 21 Y +51 y = I e-tsent s2y-s Y O- Y’ (0) + 2 sy-y O + 15+12+1 = 152+25+2 S2Y-s O- 1 * 2 sy-o + IS2+2S+2 (52 + 25 +5)y 1 Is2+2S+2 1 S2+2S+5 + 1 y-l-l (sen t + sen 2t) 4.

Resolver Y Tenemos que Y’ s3y-s2 yo- s Y’ 0- Y’ — 13 e -t -31 Y’ y — It2et Así, Finalmente Y = et s2y-sy0- Y’ 0 + 3 sy-y0 -y 2(s-1)3 (53Y-3S2+ 3s-1)Y – + 35-1 – = 52-35 + 15-13 + y – + 1-ss-13 + 52-12- (s- 1)-1s-13 + 2(s-1 -Is-l – – + – tet – t2et2 + t5et60 5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial del problema 4. En este caso las condicion on arbitrarias. o sea que y = As2+ + Como A, By C son arbitrarias, también lo es el polinomio del numerador del miembro derecho de la igualdad.

De esta manera podemos escribir y- cl (5-1 c3s-1+ 2(s-1 y transponer términos para encontrar la solución general requerida y: Cl t22et+ c2tet+ aet+ t5et60 cl t2+ c5tet+ c6et+t5et60 Donde las ck son constantes arbitrarias. Se notará que una vez obtenida la solución general, es más fácil encontrar la solución particular ya que nos evitamos la dificultad de determinar las constantes del desarrollo en fracciones parciales. 6. Resolver 9Y=cos2t Si 1, YTt2=-1 . Como Y’O es desconocida, sea Y’O= c.

Entonces LY’+ 9LY= L{COS2t} s2y-sYo- YO+ 9y= ss2+4 s2+gy-s-c- ss2+4 s+cs2+9+ = ss2+9+ CS2+9+ S5(S2+4)- S5(S2+9) = 45SS2*9+ CS2+9+ S5(S2+4) De manera que 45cos3t+ c3sen3t+ 1 Scos2t Para determinar c, nótese e modo que -1— -c3-150 31_1f6 ea c-12/5. Entonces usando el teorema de la convolución, -Is-2s2+a2+ L-1fss2+a2 =cosat- 2 sen ata* Ft* sen ata =cosat- 2 sen ata* laOtFusen at-udu Nótese que en este caso realmente la transformación de Laplace e F(t) no aparece en la solución final. . Hallar la solución general de Y”- Sea cl, YO: c2. Tomando la transformada de Laplace, encontraremos que S2Y- C2- O Sea SCI+ c2s2- a2+ a2 De manera que Y: cl coshat+ c2asenh at+ laOtFusenh at-udu =Acoshat+Bsenh at+l aOtFusenh at-udu que es la solución general requerida. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES VARIABLES 9. Resolver tY”+ Y+ 4tY=O, 3, Y’O= O.

Tenemos que o sea es decir, LtY”+ LY+ L4tY- O -ddss2y-sYO- Y’O+ sy-YO- 4ôyas=O -o y’–l s2+1 Integrando, Ftan-l s+A Como y -,0 cuando s debemos tener que Así, tan-lls Por el ejemplo siguiente al teorema 1-13. Pág. 5. Y=L-I tan-1 1 sen tt que satisface Yrt=0 y es, entonces, la solución buscada. 11 . Resolver yo=l, Y’O=2 Tenemos que LY’-LtY+ LY—L1-1s o sea, Entonces SZY-SYO-Y’O+ ddqsy-Y0}+F1s s2y-s-2+sy’+y+y=1 s sy’+s2+zy=s+2+1s dyds4s+2sy=1 42s+1 s2 Un factor integrante es e(s+2s) ds ddss2e12s2y-1 +2s+ 1 s2s2e 12s2

Integrando, y: 1 s2e-12s21+2s+1s2s2e12Qds -1 s2e-1 2s2(s2+2s+ 1 )el 2s2ds = IQe-12suse12s2+2e12s2+c] = 1 s+2s2+ cs2e-12s2 para determinar c téngase en cuenta que, por el desarrollo en serie, Como L-1sk-O, k—O, 1, 2, , al invertir obtenemos, *C+2t Pero Y'(O) 2 de tal suerte que c — Oy así llegamos a la solución buscada ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SIMULTANEAS 12. Resolver -3. dXdt=2X-3Y con las condiciones X(O) = 8, Y(O) dYdt-Y Sl_1f6 Tomando la transformad enemos que si LX=x, sy-3-y-2x 2 2x+s-1 y-3 Resolviendo (1) y (2) simultáneamente, 33s-1 s-232s-1 =8s-1 7s2-3s-4=8s-17s+ 1 1 =3s-4 y=s-2823s-232s-1 1 =2s-4 13.

Resolver 35, X=L-I x=5e-t+3e4t 5e-t sen 2t con las condiciones X(O) – YO=27, Y’O=-55. Tomando la transformada de Laplace, tendremos que S2x-S35–48+sy-2743x=15S+l 3) x+ sy = 35 s -21 15s+1 4sx + (s2+ 3) y = 27 s + 4 355 -21 + 15s+l – 195 + 30S2+4 S2+3 s2+ 3 s -45 s2+ 3 = 35 53- 48 S2 300 S-63S2+ 1(S2+ 9) + 15 (52+ 1(S2 30SS2+ 4(S2+ 9) 3c]ss2+ 1 – g + + 1 + 2ss2+ 4 s2+3 355-21 + 155+1 27S- 195 + 30S2+ 4 -45 9) – 27 SB- 55 S2-3 s-585S2+ 9) 1(S2+ 9)- 30(S2+ 3)S2+ 1 S2+ 9) – 9 – 60s2+ I +3s