Producto de inercia
Producto de inercia gy uivianagorojas 110R6pR 16, 2011 8 pagos Teorema de los ejes paralelos para el POI Cuando se quiere determinar el producto de inercia de un vehículo, será necesario calcular o medir primero el producto de inercia de los componentes del veh[culo, y entonces trasladar estos valores al producto efectivo alrededor de los ejes del vehículo. Para trasladar el producto de inercia de un objeto relativo a los ejes X, Y’ y Z a los ejes X, Y, Z, hacemos: Pzx=P z’x’ + M z x Pol — P + M z y donde M = masa del objeto x, y, z = coordenadas de los ejes X.
Y, Z del CG del objeto Este teorema, es más difícil de utilizar ue el equivalente del momento de inercia, cada término tiene org S»ipeto ejemplo ilustra este t de t Ejemplo para la ilustr producto de inercia d s fórmulas, y porque igno). El siguiente ey=-6in. El s ejes X’, Y’ y Z es Pz’x’ = -2 lb in s2, Pz’Y’ = 0 lb in s2. El peso del objeto es de 4 Ibs. Calcular el producto de inercia efectivo del objeto realtivo a los ejes x,yyz.
Comparación entre el MOIy el POI Existen algunas semejanzas y algunas diferencias entre esta fórmula de traslación y la fórmula para trasladar el momento de inercia a un eje paralelo diferente: . Ambas fórmulas son dimensionalmente similares: (masa) (longitud)2 = (masa) (longitud Swlpe to vlew next page (longitud)2 + (masa) (longitud)2 No obstante, el signo de los valores de (masa) (longitud)2, sólo pueden ser positivos para el momento de inercia, mientras que puede ser tanto positivo como negativo para el producto de inercla. 2.
En el caso del momento de inercia, era posible ignorar el MOI del objeto alrededor del CG, si el término de traslación era grande. Esto no es así para el producto de inercia. Si el POI del objeto alrededor del su CG no es cero, no puede ignorarse, ncluso si el valor del término de la traslación, Mxy, es grande, ya que valores pequeños de producto de inercia, pueden ser muy slgniflcatlvos si un término grande se substrae de otro, dejando una pequeña diferencia. 3. En el caso del momento de inercia, el valor del MOI a través del CG de un objeto. iempre tiene un valor mayor que cero. Es imposible que el producto de inercia de un objeto sea cero; así la fórmula se convierte en Pzx= M z x. Ejes y planos de simetria El producto de inercia de un cuerpo homogéneo, respecto de cualquier par de ejes perpendiculares, es igual a cero si en lano determinado por cualquiera de los ejes y el tercer eje coordenado, es un plano de simetria del cuerpo. Esta regla es dificil de explicar con palabras. Los ejemplos de la derecha, ilustra algunas formas simétricas que tiene Pzx = 0.
C[rculo de Mohr El ingeniero alemán Otto Mohr, desarrolló en el siglo XIX una representación gráfica de la relación entre el MOIy el POI. Una copia de esta ayuda s representación gráfica de la relación entre el MOI y el POI. Una copia de esta ayuda se reproduce en el manual SAWE y se muestra más abajo. Con la ventaja de disponer de un PC, ya o son necesarias las soluciones gráficas en los problemas de ingenieria, pero el círculo de Mohr es aún útil para visualizar el efecto de la inclinación El círculo de Mohr’s para el momento de inercia Dados: 1.
Los valores del momento de inercia 1x’ ly de un objeto, alrededor de su centro de gravedad, donde el centro de gravedad cae sobre el origen de un conjunto de ejex X-Y mutuamente perpendiculares. 2. El valor correspondiente al producto de inercia, pxy’ El cículo de Mohr se construye utilizando el esquema geométrico y la información siguientes: 1. La localización de los ejes principales cuyos momentos de nercia son maximos y mínimos con productos de inercia cero. . Los valores máximo y minimo correspondientes a los valores del momento de inercia. 3. Los momentos y productos de inercia para cualquier otro conjunto de ejes A-B mutuamente perpendiculares, cuyos orígenes esten sobre el centro de gravedad de objeto dado, y rotados C grados respecto de los ejes originales X-Y. 4. Los valores máximos de los productos de inercia alrededor de los ejes situados a 450 de los ejes principales.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el omento de inercia con respecto 31_1f8 (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos eJes: donde: leje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; l(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados). La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata: donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometr(a del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo. Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por . 3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 4 e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores. 4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5.
Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar omo: li,x e li,y, para el área i-ésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes xe y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: e Tensor de inercia de un sólido rígido El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son: Donde son las coordenadas cartesianas rectangulares. , es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:
Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje xi, y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son: Y los tres productos de inercia según los mismos ejes: Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo : El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes: Donde la matriz es el tensor de expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes: Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
Se define producto de inercia de un sistema respecto a dos planos como la suma de las masas de las partículas por el producto de las separaciones a ambos planos. Se considera que la separación a un plano es positiva a un lado del plano y negativa al otro. Los elementos , ) fuera de la diagonal principal de la matriz son menos los productos de inercia respecto a los pares de planos formados entre , y . Se tiene: En general, es necesario recurrir al calculo integral para calcular os momentos y productos de inercia de solidos. Sin embargo, las siguientes relaciones, llamadas relaciones fundamentales (obvias si uno considera los ejes de coordenadas y planos perpendiculares a ellos por el origen) facilitan frecuentemente el cálculo: 1.
El momento de inercia respecto a un eje es la suma de los momentos respecto a dos planos perpendlculares que se cruzan en él. 2. El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a tres planos perpendiculares que pasan por él. 3. El momento de inercia respecto a un punto es la semisuma de los momentos respecto a tres rectas perpendiculares que asan por él. 4. El momento de inercia respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a un plano que pasa por él y r respecto a un punto es la suma de los momentos respecto a un plano que pasa por él y respecto a una recta perpendicular al plano y que pase por él. 5. Los productos de inercia son nulos si uno de los dos planos es un plano de simetría.
Teorema de Steiner En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento e inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. El momento de inercia sobre el nuevo eje z es dado por: donde: es el momento de inercia del objeto sobre un eje que pasa a través de su centro de masas; es la masa del objeto; es la distancia perpendicular entre los dos ejes. La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.
Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia La regla de os ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región plana D: donde: es el momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo; es el momento de inercia planar de D relativa a su centroide; es el área de una región plana D; es la distancia del nuevo eje zal centroide de la región plana D. Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CC) de u región plana D. Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con la misma forma que tiene densidad uniforme. Demostración Se asumirá, sin pérdida e generalidad, que en un sistema de coordenadas carteslano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen.
El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es: El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es: Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene: El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como: En mecánica clásica En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia Jij a partir de un tensor de inercia sobre el centro de masas lij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas: es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y es la función delta de Kronecker. Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando = j), desplazamientos perpendlculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner. 81_1f8
