Valores y vectores propios
Valores y vectores propios gy nestoromartapia 1 110R6pp 16, 2011 4 pagos Análisis Numérico II Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar un método numérico, para nuestro caso utilizaremos el método de las potencias. El método de las potencias El objetivo del método de las potencias es calcular un vector ropio de una matriz dada AE Fnxn. s extremadamente simple: Dado un vector no nulo xe Fn se construye la sucesión Akx, ,2, esta sucesión de vectores puede no converger a un vector, pero frecuentemente la sucesión de los subespacios generados to View nut*ge Swp to page por sus elementos, & valor propio n hay un sino todo un subesp que no es un vector buscar un subespaci ora de e os que para cada ado unívocamente, o el vector cero ue nos interesa es escoger un valor propio particular; por ejemplo, un vector propio unitario. Asi pues, ebemos estudiar la convergen convergencia de subespacio y no de vectores propiamente.
Convergencia de subespacio En primer lugar, al conjunto de subespacio de Fn de dimensión d se le llama Grassmanniana o Variedad de Grassman, y se representa mediante el símboloGrdFn: c Fn subespacio de dimension d} Para poder hablar de convergencia de subespacio, debemos dotar a GrdFn de una estructura topológica. Hay dos formas clásicas de hacerlo que producen la misma topología: definir una distancia entre subespacio, llamada distancia «gap», o identificar l conjunto de subespacio de dimensión d con un conjunto cociente de matrices y definir en este la topología cociente.
Aunque la prmera forma de proceder es más apropiada para el análisis numérico porque proporciona cotas cuantitativas en el análisis del error, es también la más larga. Como, además, no haremos un análisis del error muy riguroso, adoptaremos la segunda aproximación, que es más rápida. Dado un subespacio S de dimensión d en Fny dada una base {XI , a, xd}, llamaremos matriz base de S a la matriz X=[xl , atrices base de los subespacios de dimensión d tienen la particularidad de ser matrices de tamaño nxd y de rango d. toda matriz con estas pro toda matriz con estas propiedades genera un subespacio de dimensión d. pero puede haber más de una matriz nxd de rango d que genere una matriz de cambio de base. Es decir, XI E Fnxd generan el mismo subespacio de dimensión d si y solo si rang XI —rang X2=d y existe una matriz invertible PEFdxd tal que XI =X2P. Ahora bien, la relación XI —X2 si y solo si existe PEFdxd tal que XI -X2P es una relación de equivalencia en el conjunto
Mn,d(F) de las matrices nxd de rango d con elementos enF. Y cada subespacio de dimensión d puede identificarse con una clase de equivalencia. ASÍ, identificaremos Donde representa el conjunto de clases de equivalencia por la relación que acabamos de definir. En consecuencia, dada una matrizX denotaremos por <X>EMn,d(F) es un conjunto abierto de Fnxdque podemos considerar dotado de la topología relativa. En este caso, UcMn,d(F) es abierto en Mn,d(F) si lo es en Fnxd.
Con esta topología en Mn,d(F) podemos dotar a Grd(Fn) de la topología ociente en Mn,d(F)Gld(F): si TE : Mn,dF— Grd(Fn) Es la proyección canoníca, es abierto si y solo si Tt-1(U) es abierto en Mn 3Lvf4 Es la proyección canoníca, UCMn,d(F) es abierto si y solo si Tt-l( es abierto en Mn,dF. Así pues, la topología de Grd(Fn) es la topología más fina que hace de una aplicación continua. El algoritmo del método de las potencias. Corolario: Sea AG Fnxn y x G Fn un vector no nulo. Si la sucesión de subespacios converge a un subespacio no nulo entonces y es un vector propio de A.
Corolario: sea Ae Fnxn y q Fn un vector unitario. Si la sucesión de subespacios AkqAkq2 converge a un subespacio <y> no Este resultado es la base del método de las potencias cuya versión final es la siguiente: Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios de la siguiente matriz: -1 412 Utilizando el método de las potencias en Excel encontramos los valores propios que son: 212111 Una vez calculados los valores propios, el siguiente paso es calcular los vectores propios para los valores antes obtenidos: II 0 45818784 | 0. 38675927 | 0. 33333333 | 0. 95818784 | 0. 88675927 | 1
