Vectores
Vectores gy aldoakbal 1 110R5pR 16, 2011 14 pagcs 1) INTRODUCCION Álgebra vectorial: Es la rama de la matemática que esta relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación. Por lo que las magnitudes vectoriales son de utilidad en la vida diaria en muchas aplicaciones para un mejor entendimiento y funcionamiento de lo que conocemos como necesidades administrativas, técnicas, sociales, etc.
Existen magnitudes cuyas cantidades se determinan dando un solo dato numérico algebraico, como por ejemplo, la masa de un uerpo; tal dato se suele llamar «Numero Escalar». Pero a menudo, un solo dato numérico no basta ara especificar una sola cantidad, ya que es mas necesario PACE 1 saber cualidades esp fic la dirección y el senti va o final, esto se puede c podemos llamar «Ve io ntendimiento, como ete inarán el resultado asociado; Tal ente lo explicara mas detalladamente).
La definición más general de un vector, es una herramienta geométrica que determina lo antes mencionado, sentidos y direcciones, y se utiliza para representar una magnitud fisica y esta conformado por un «Origen» también llamado Punto e aplicación, y un «Módulo» que es la longitud. Todo esto es manejado en un sistema de referencia (o también llamado «plano cartesiano») de dos y tres dimensiones por lo general; Y es una representación de espacio-ti Swipe to page espacio-tiempo, donde se puede ver con claridad las expresiones a estudiar o trabajar y su comportamiento.
Es decir, un campo de trabajo, donde se es posible tratar bajo coordenadas y/o posiciones determinadas para cada uno de los puntos deseados. Cuenta con un punto de origen de donde parte la perspectiva en la vista del espectador ya sea que se encuentre en movimiento o n una posición fija. En nuestra vida diaria, asf como en casi cualquier rama de la ciencia nos enfrentamos con dos tipos de magnitudes, a saber aquellas en las que solo nos interesa la cantidad o el tamaño, y aquellas en las que nos interesa tanto la cantidad como la noción de «para donde».
La velocidad, por ejemplo, viene dada por un vector; si suponemos desplazamientos rectos, la dirección indica el tipo de trayectoria que se efectúa, el sentido indica hacia dónde se va, y el módulo indica la rapidez con que nos movemos; como puede verse, el velocímetro de un coche es, en realidad, olamente el «modulómetro» que se encarga de calcularlo, puesto que indica el módulo de la Velocidad.
Una vez calculando la velocidad se puede establecer ciertas reglas de cuidado para cada función que se le pueden dar a dicho coche, o así mismo entender las magnitudes físicas que esto implica. 2) VECTORES EN EL ESPACIO. El concepto de vector no es posible de entender a la perfección si no se saben conceptos fundamentales que lo conforman, tales como, el «Plano cartesiano» que está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, «Plano cartesiano» que está formado por dos rectas numéricas erpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto.
La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (X), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (Y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen, y tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas; También esta dividido en cuatro cuadrantes Y el «punto en el espacio»; Se define como la representación espacial en un sistema de referencia de conjuntos reales. Por lo regular, en los libros lo podemos encontrar simbolizado con una ola letra (en mayúscula por lo general).
El punto es imaginario, ya que no cuenta con volumen propio real, por lo que es utilizado como un origen de referencia, y es convertido en un volumen visual, esta formado por una coordenada específica o pareja ordena que marca el tiempo y el espacio en el plano cartesiano. En la siguiente imagen (V. 1) podemos notar ambos conceptos. Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según ean positivas o negativas, respectivamente.
Podemos observar que el punto en el espacio en este caso esta encontrado por las coordenadas (4,3), es decir, sobre el eje de las abscisas o eje «X» tiene como valor -4- y mient las coordenadas (4,3), es decir, sobre el eje de las abscisas o eje «X» tiene como valor -4- y mientras, en el eje de las ordenadas o eje de las «Y» tiene como valor El origen tiene como valor -0- en el único punto donde hacen contacto ambos ejes.
No solo el plano cartesiano con solo dos ejes, es el único que representa el espacio real, sino que, también esta el «plano ridimensional» o Euclidiano. Este sistema de referencia es en honor de un matemático griego Euclides, quien al rededor del año 300 a. C. Comenzó a desarrollar los conceptos matemáticos que explican el espacio en el que vivimos.
Como ya ha sido mencionado el anteriormente, esta conformado por tres dimensiones, así como en el plano carteslano encontramos solo 2 ejes, en el plano Euclidiano tiene un eje más que muestra la altura, y representaremos con la letra Así mismo, el procedimiento para poder encontrar un punto en el espacio es el mismo que utilizamos en el plano de dos imensiones como recomendación lo indicado es que primero se debe localizar el valor en el eje «X» posteriormente hacer lo mismo en el eje «Y’, y aun mas fácil, se debe trazar un línea recta paralela al eje contrario partiendo en el valor determinado, después para poder encontrar la altura determinada, se utiliza el eje «Z» de igual manera partiendo del punto (X, Y) trazamos una línea paralela al eje «Z» hasta donde el valor en el eje «Z» nos lo indica; Y para terminar partiendo del punto de origen (O) se traza una línea recta mas hasta el punto (X,Y,Z) 40F terminar partiendo del punto de origen (0) se traza una línea ecta mas hasta el punto (X,Y,Z), todo esto lo podemos ver en la siguiente imagen (V. 2).
Cabe destacar que la diferencia entre el plano tridimensional y el plano bidimensional no tiene mucho cambio, solo es visto desde otra perspectiva, es decir, se le da un giro de 900 de tal manera que el eje horizontal termina siendo el eje «Z» mostrando la altura en el que se encuentra el punto en observación; el punto de orlgen entre los tres ejes es el mismo que en el de los dos, es el punto donde hacen contacto ahora ya los tres ejes, con el valor de cero Una ves conociendo el concepto de punto, podemos ampliarlo, hora hablando sobre un conjunto de puntos que al estas formados en sucesión continua entonces se puede formar lo que conocemos como una «Línea recta», la sucesión de puntos es infinita en los valores reales y una vez localizando ciertos punto, de importancia para cada objetivo,. se dice que la línea recta ahora esta dividida en segmentos ya que solo se esta usando una parte de la susodicha. La recta es una de las figuras geométricas más sencillas que existen, pero tiene muchas aplicaciones de distintas funciones, tanto en el nivel técnico, social y administrativo. En la imagen (V. se muestra una recta cualquiera, que pasa por un punto «Pl» evaluado en «X» y en «Y» como XI y Y 2 respectivamente y también por un punto «P2» evaluado en «X» s OF «Pl» evaluado en «X» y en «Y» como XI y Y2 respectivamente y también por un punto «P2″ evaluado en ‘X» y en «Y» como X2 y Y2 de igual manera; Y retomando lo antes explicado, la recta esta dividida en un segmento de intervalos entre los puntos «Pl» y La recta no solo esta conformado por estos conceptos, si no que también existen otros que ayudan a comprender su comportamiento, no obstante, la pendiente es el determinante en a inclinación de la recta, cuanto menos sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta.
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (de un plano carteslano), suele ser representado por la letra «m», y es definido como el cambio o diferencia en el eje «Y’ dividido por el respectivo cambio en el eje «X», entre dos puntos de la recta (VA). Esto es, el valor de la pendiente es resultado de: m (Y2 — La llamada ecuación general de 2do. Grado puede representar también a una recta si se eliminan los términos cuadráticos con lo que no quedaría de la siguiente forma: Ax+BY+C-O La recta y el vector tienen mucho en común, la diferencia más sencilla es que el vector va dirigido a un solo sentido y a una solo dirección, junto con magnitudes físicas.
Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente rial en la representa matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla us «equipolencias», un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy. Los vectores se pueden representar, a diferencia de la recta, mediante segmentos de recta dirigidos, o así también con fechas; La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.
Con Hamilton inicia el estudio de los vectores, se le debe a él el nombre de «Vector» producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denomlnado «Cuaterniones», muy usados hoy en día para el trabajo con otaciones de objetos en el espacio de tres dimensiones. Actualmente, casi todas la áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores. Al igual que en la recta, se pueden demostrar en ambos sistemas de referencia. Recordando los planos de dos (V. 5) y tres dimensiones (V. 6). Como concluyente, podemos decir que el vector es una cantidad física que posee magnitud, dirección y sentido. En la imagen (V. ) se muestra un vector cualquiera y la magnitud de dicho vector equivale a su longitud, la dirección indica hacia donde se dirige, lo que se expresa mediante una flecha, como ya se había encionado, colocada en cualquiera de sus extremos, el sentido es el signo, ya que sea positivo o negativo ( colocada en cualquiera de sus extremos, el sentido es el signo, ya que sea positivo o negativo (dependiendo el caso) que el vector o sus componentes rectangulares posean. Los vectores se denotan con letras minúsculas con una flecha arriba, tales como » Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C. En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados «Escalares» y se denotaran con letras minúsculas como a, b, c. puntos: (V. 5) ó (V. 6)
El vector de la imagen (VA), correspondiente al plano cartesiano, puede mostrar su componente «X» como ( x), así mismo con «Y» como ( y); En la imagen (V. 5) se representa el vector de similar manera, solo que ahora junto con el eje «Z», por lo que tiene componentes en «X» como ( x), en «Y» como ( y) y por ultimo en Z como ( z). Vectores: (V. 5) ó (V. 5) Por otro lado un vector también puede conseguirse como la línea recta que une a dos puntos cualquiera «A» y B». A dicha línea se le llama segmento dirigido que para efectos de geometría analítica un segmento tiene dirección, en este caso «AB» es el segmento irigido de «A» hacia «B» y se expresa como ( ); Al punto «A» se le llama punto inlcial u origen y el punto «B» se le llama punto final o extremo.
En este caso los componentes de dicho vector nuevo obtienen de la diferencia entre las coordenadas del punto al que llega el segmento menos las coordenadas del punto en el que sale. segmento menos las coordenadas del punto en el que sale. Por otro lado el «Modulo» de dicho vector equivale a las distancia entre «A» y «B» y para el cálculo de dicho segmento es necesario emplear una formula para tener el mismo resultado pero ahora n una cantidad escalar; La cual es especial para calcular la distancia que hay de un punto a otro. El Modulo de un vector cualquiera, puede denotarse como la distancia de dos puntos «d «; O como si se escribiera el vector en su valor absoluto. 3) OPERACIONES CON VECTORES.
Como ya sabemos, en el tema de los vectores se pueden realizar distintos tlpos de operaclones, como por ejemplo, la suma y la resta; Para dos o para tres dimensiones se define la suma o la resta de 2 0 mas vectores cualesquiera como la adición o la sustracción de sus componente de uno en uno, como podemos bservar en el comportamiento de estas expresiones. Algebraicamente: Sean los vectores. SUMA: + = ( ) RESTA – (Es importante saber que, las operaciones entre vectores deben de estar en las mismas di ra realizar la suma y resta de vectores matemá único que se debe hacer sumar o restar dos vectores puede representarse si empleamos el principio del paralelogramo, para ello se traza en el extremo del vector (VI), una paralela al otro vector (V. ) y viceversa como se muestra el la siguiente imagen (El), en donde los vectores se colocan en el mismo origen y con su misma posición trazándose aralelas en donde terminan con lo que se completa el paralelogramo. Las diagonales resultantes representan; la mayor es la suma de dichos vectores, en tanto la menor representa la resta. Gráficamente: Si tenemos que restar o sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, primero dos de ellos y el vector resultante, añadirle un tercero y así sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el extremo del primer vector, un vector igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. Una cantidad escalar; es la que está especificada completamente or un numero con unidades apropiadas. Una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa, los intervalos de tiempo, etc. Producto Escalar entre dos vectores Esta operación, como un buen porcentaje de la matemática, surge a partir de una necesidad para explicar a la naturaleza concretamente del concepto de trabajo en física, por ahora sólo trataremos esta operación de manera formal (como partes del algebra vectorial). Al operar dos vectores y mediante la operación producto escalar (denotada ) el resultado es un número que, como tal, 4
